Qual è la quinta radice di -32?

Ho letto tutte le risposte finora e sono sorpreso che nessuno abbia dato la soluzione che presenterò qui. Si basa sulle regole logaritmiche e usando la base 10 come base normale. Dimostra davvero quanto sia potente questa teoria rispetto ai grandi numeri. Non solo distingue la grandezza relativa dei numeri, ma ci dà una sensazione sulla grandezza assoluta dei numeri.

Iniziamo con [math]222^{333}[/math]. Prima trasformiamo 222 in notazione scientifica.

[math]222=2.22\cdot 10^2[/math]. Questo viene inserito di nuovo in [math]222^{333}[/math], cioè

[math](2.22\cdot 10^2)^{333} (1)[/math]

Applichiamo ora una regola di trasformazione logaritmica apparentemente semplice ma importante, cioè quella di convertire un numero arbitrario a in una potenza di 10.

[math]a=10^{lg a}[/math]

Applichiamo questa regola a (1) sopra.

[math](10^{lg 2.22} \cdot 10^2)^{333} (2)[/math]

Expression (2) is now rearranged to

[math]10^{(\lg 2.22\cdot 333+ 2 \cdot 333 )} (3)[/math]

Expression (3) is simplified further to

[math]10^{(115.29+666)} (4)[/math]

which finally results into approximately,

[math]10^{781} (5)[/math]

We have now arrived at the first answer.

[math]222^{333} \approx 10^{781}[/math]

Consequently, [math]222^{333}[/math] is equal to an integer base 10 number that is 781 digits long.

The same procedure is applied to [math]333^{222}[/math] which results in the second answer,

[math]333^{222} \approx 10^{559}[/math]

In other words, [math]333^{222}[/math] is equal to an integer base 10 number that is 559 digits long.

In conclusion,

[math]222^{333} \approx 10^{781}>>10^{559} \approx 333^{222}[/math]

As one can see, the logarithmic rules and scientific notation are extremely powerful tools to handle big numbers. Non sono davvero necessari programmi software avanzati per arrivare a una soluzione approssimativamente buona per questo tipo di problema. Solo una penna e un pezzo di carta. La matematica è fantastica!