Qual è l'espansione binomiale di [math](1+x) ^{-2}[/math]?

Per ogni fisso [math]\alpha\in\mathbb C[/math], abbiamo l'espansione newtoniana

[math](1+x)^\alpha=1+\alpha x+frac(\alpha-1)}{2!x^2+\frac{alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\punti[/math],

ottenuto prendendo la serie di Taylor di [math](1+x)^\alpha[/math] centrata nell'origine.

Se [math]\alpha[/math] è un intero non negativo [math]n[/math], si osservi che il coefficiente di [math]x^k[/math] è [math]{n\scelta k}[/math] per [math]k\leqslant n[/math] e [math]0[/math] per [math]k>n[/math] (nel qual caso il numeratore ha un fattore zero). In questo caso speciale la serie è il polinomio che è la familiare espansione binomiale di [math](1+x)^n[/math].

Tuttavia, se [math]\alpha[/math] non è un numero intero non negativo ([math]\alpha[/math] potrebbe essere [math]-1[/math], o [math]\frac 12[/math], o anche [math]i[/math]), tutti i coefficienti della serie non sono nulli e il Test del Rapporto mostra che il raggio di convergenza è [math]1[/math]. Ecco alcuni esempi:

• Prendendo [math]\alpha=-1[/math], [math]\frac 1{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+punti[/math]
• Prendendo [math]\alpha=\frac 12[/math], [math]\sqrt{1+x}=1+frac 12x-\frac 18x^2+\frac 1{16}x^3-\frac 5{128}x^4+\frac 7{256}x^5-\punti[/math]
• Prendendo [math]\alpha=i[/math], [math](1+x)^i=1+ix-\frac 12(1+i)x^2+\frac 12+\frac 16i\destra)x^3-\frac 5{12}x^4+\frac 13-\frac 1{12}i\destra)x^5+\punti[/math]
• Ma questi convergono solo per [math]|x|<1[/math] (qualsiasi forse alcuni [math]|x|=1[/math]).

Questa idea può essere utilizzata in molti modi:

1. Se [math]A[/math] è un'algebra commutativa [math]\mathbb Q[/math], considera l'anello delle serie di potenza [math]A[x]\math][/math]. Sia [math]Z[/math] l'insieme delle serie di potenza con termine costante [math]0[/math] e [math]U[/math] l'insieme delle serie di potenza con termine costante [math]1[/math]. Allora [math]Z[/math] è un gruppo abeliano additivo, e [math]U[/math] è un gruppo abeliano moltiplicativo. C'è un fatto interessante che per [math]n\ne 0[/math] in [math]\mathbb Z[/math], la mappa [math]f\mapsto f^n[/math] di [math]U[/math] (che è manifestamente un endomorfismo di gruppo) è biiettiva. Sentitevi liberi di provare a capire perché è così.
2. Utilizzando questo si può invertire l'automorfismo [math]f\mapsto f^n[/math] per ottenere [math]f\mapsto f^{1/n}[/math]. Componendo gli automorfismi, abbiamo automorfismi [math]f\mapsto f^r[/math] su [math]U[/math] per qualsiasi [math]r\ne 0[/math] in [math]\mathbb Q[/math].
3. Inoltre, abbiamo una mappa esponenziale [math]\exp:Z\a U[/math] che invia [math]f\mapsto\sum_{n=0}^\infty\frac{f^n}{n!}[/math], e una mappa logaritmica [math]\log:U\a Z[/math] che invia [math]1+f\mapsto\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}frac{f^n}n[/math]. (Entrambe le sommatorie sono ben definite perché [math]f\in Z[/math] e quindi ogni coefficiente ha finitamente molti sommatori non nulli). Si può dimostrare che queste mappe sono isomorfismi di gruppo che sono inversi l'uno dell'altro. Inoltre, per [math]r\in\mathbb Q[/math], [math]f^r=\exp(r\log f)[/math] per [math]f\in U[/math].
4. Una facile conseguenza è che i coefficienti di [math](1+x)^r[/math] sono polinomi in [math]r[/math]. Poiché questi coefficienti concordano con i coefficienti polinomiali dell'espansione newtoniana sull'infinità dei numeri interi non negativi (la distributività della moltiplicazione sull'addizione espande facilmente [math](1+x)^n,n\in\mathbb N[/math]), ne consegue che i polinomi coincidono. Quindi, per razionali [math]r[/math], [math](1+x)^r[/math] è l'espansione newtoniana.

Su un argomento non correlato, l'espansione newtoniana può essere usata per dimostrare [math]\lim_{n\to\infty}\left(1+frac xn\right)^n=e^x[/math]. Dopo tutto, abbiamo

[math]\begin{align*} \sinistra(1+frac xn\destra)^n&=1+n\sinistra(\frac xn\destra)+\frac{n(n-1)}{2!}sinistra(\frac xn\destra)^2+frac{n(n-1)(n-2)}{3!}sinistra(\frac xn\destra)^3+\frac nnx+\frac nn\frac{n-1}n\frac{x^2}{2!}+\frac nn\frac{n-1}n\frac{n-2}n\frac{x^3}{3!}+\dots\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac nn\frac{n-1}n\dots\frac{n-(k-1)}n\frac{x^k}{k!}\\ &=\sum_{k=0}^\infty 1\left(1-\frac 1n\right)\dots\left(1-\frac{k-1}n\right)\frac{x^k}{k!

Come [math]n\\infty[/math], poiché ogni coefficiente mantiene [math]k[/math] costante, i termini [math]1-\frac an[/math] convergono tutti a [math]1[/math] e quindi svaniscono come moltiplicandi, portando la serie a [math]\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=e^x[/math].

Ora tagliamo la digressione e rispondiamo alla tua domanda. Volevi trovare [math](1+x)^{-2}[/math]. Questa è semplicemente l'espansione newtoniana per [math]\alpha=-2[/math], e in questo caso [math]\frac{alpha(\alpha-1)\punti(\alpha-(k-1))}{k!}=\frac{(-2)(-3)\punti(-1-k)}=(-1)^k(k+1)[/math]. Hence

[math](1+x)^{-2}=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+\dots[/math]