Qual è la distanza più breve tra le due equazioni 3x+4y+10=0 e 3x + 4y+20=0?

Le equazioni sono due linee parallele quindi la distanza più breve sarà la lunghezza di una linea perpendicolare necessaria per intersecare entrambe le linee. Creeremo una linea perpendicolare, troveremo i punti in cui interseca ciascuna linea e poi useremo la formula della distanza per trovare la lunghezza.

[matematica] \begin{casi} y_1(x) = -\frac{3}{4}x - \frac{5}{2} \\ y_2(x) = -\frac{3}{4}x - 5 \frac{5} [/math]

La linea perpendicolare avrà una pendenza pari al reciproco negativo delle pendenze delle due linee. Sia [math] y_p = \frac{4}{3}x [/math].

Troviamo l'intersezione con la prima retta.

[math] y_p = y_1 = \frac{4}{3}x = - \frac{5}{2} [/math]

[math] \frac{25}{12}x = -\frac{5}{2} \freccia -\frac{6}{5} [/math]

[math] y_p\left(-\frac{6}{5}destra) = \frac{4}{3} * -\frac{6}{5} = -\frac{8}{5} [/math]

L'intersezione con la prima linea è a [math] \sinistra(-\frac{6}{5}, -\frac{8}{5}destra) [/math]. Ora troviamo l'intersezione con la seconda linea.

[math] y_p = y_2 = \frac{4}{3}x = -\frac{3}{4}x - 5 [/math]

[math] \frac{25}{12}x = -5 \frac{12}{5} [/math]

[math] y_p\left(-\frac{12}{5}destra) = \frac{4}{3} * -\frac{12}{5} = -\frac{16}{5} [/math]

L'intersezione con la seconda linea è a [math] \sinistra(-\frac{12}{5}, -\frac{16}{5}destra) [/math]. Ora usiamo la formula della distanza [math] D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} [/math].

[math] D = \sqrt{\sinistra(-\frac{12}{5} + \frac{6}{5}destra)^2 + \sinistra(-\frac{16}{5} + \frac{8}{5}destra)^2} = \sqrt{\frac{36}{25} + \frac{64}{25} [/math]

[math] D = 2 [/math]