Perché il campo magnetico obbedisce a una legge del cubo inversa?

Perché tutte le fonti magnetiche sono una qualche forma di multipolo. Tutti i campi magnetici statici (cioè non variabili nel tempo) sono da dipoli.

La caduta del campo da un monopolo (cioè la carica) segue una legge dell'inverso del quadrato, in accordo con la simmetria 3-d. Il campo di un dipolo può essere derivato da una coppia di monopoli uguali ma con carica opposta, distanziati di una certa distanza D l'uno dall'altro.

Partendo dalla legge dell'inverso del quadrato, e assumendo che le cariche siano poste a D/2 di distanza dall'origine e allineate sull'asse z, e consideriamo solo i campi sull'asse z (per semplicità, anche se questo funziona correttamente per i campi in tutte le direzioni, non voglio derivare il tutto qui), iniziamo ad usare il principio di sovrapposizione:

B = k * q / (z + D/2)^2 - k * q / (z - D/2)^2

Let's simplify that sum of fractions by giving them a common base:

B = k*q [ (z - D/2)^2 - (z + D/2)^2 ] / [(z+D/2)^2 * (z-D/2)^2]

Now expand the squares
B = k*q [ (z^2 - Dz + D^2/4) - (z^2 + Dz + D^2/4)] / [(z^2 + Dz + D^2/4) * (z^2 - Dz + D^2/4)]

B = 2kqDz / [D^4/16+z^2 (z^2-D^2/2)]

For large z >> D, this reduces to approximately
B = 2kqDz / z^4

further reducing to
B = 2kqD / z^3

There's your inverse cube law.

Update: Also, we roll together qD as the "dipole moment" M.