Quali sono le applicazioni nel mondo reale delle scoperte di Ramanujan?

Un lavoro di Ramanujan (fatto con G. H. Hardy) è la sua formula per il numero di partizioni di un intero positivo n, la famosa formula asintotica Hardy-Ramanujan per il problema delle partizioni. La formula è stata usata in fisica statistica ed è anche usata (prima da Niels Bohr) per calcolare le funzioni di partizione quantistica dei nuclei atomici. Il problema è brevemente descritto qui sotto:

Il problema originale nella teoria dei numeri, quello della partizione di un numero ha una ricca storia. Il problema è - dato un numero intero positivo n, una partizione è un modo per scriverlo come una somma di numeri interi positivi. Per esempio per 10, una partizione è 6+4. Si è interessati a trovare tutti i modi possibili di farlo per un numero.

Scegliamo un numero piccolo, diciamo 4. Allora è chiaro che ci sono 5 modi di farlo. (4, 3+1, 2+2, 2+1+1+1 e 1+1+1+1+1). Nota che l'ordine non è importante, cioè 1 + 1 + 2 e 1 + 2 + 1 sono la stessa partizione. Usiamo la notazione P(n) per rappresentare il numero di partizioni di un intero n. Così P(4) = 5, allo stesso modo, P(7) = 15.

Se cominciassimo ad enumerare le partizioni per numeri più grandi, anche per numeri piccoli come 10 cominciamo a vedere che c'è un'esplosione combinatoria! Per illustrare questo consideriamo P(30) = 5604 e P(50) = 204226 e così via. (btw, le partizioni possono essere visualizzate da Young tableau!)

Considera per un momento il celebre teorema dei numeri primi che dava una formula asintotica per ottenere il numero di primi che c'erano sotto un numero x. Era solo una formula approssimativa (i numeri che dava non erano completamente accurati e avevano un errore) ma anche allora era considerata una grande conquista perché scopriva una struttura nascosta nei primi. (Il problema della partizione può essere considerato un analogo "additivo" a quello dell'ottenimento dei fattori dei primi in cui l'operazione primitiva è la moltiplicazione).

Una ricerca simile era in corso per formule asintotiche per il numero di partizione P(n) e a causa dell'esplosione combinatoria una formula accurata era considerata difficile. Ramanujan credeva di poter trovare una formula accurata anche se era considerata estremamente difficile, e ci andò vicino. Insieme ad Hardy fu in grado di dare una formula del genere e fu notato da Hardy come uno dei suoi lavori più importanti.

La formula è:

[math] \displaystyle P(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} exp(\pi \sqrt{frac{2n}{3}}) [/math]

come [math] n \infty [/math]

Questa formula era notevolmente accurata, per esempio per p(1000), l'errore era circa 1,4%. Un numero altrettanto alto a quel tempo fu verificato a mano e ci volle circa un mese (credo fosse P(200) e l'errore fu di circa lo 0,04%). Questo risultato è stato successivamente migliorato da Rademacher.

Questa formula asintotica è qualcosa che è certamente utile nella Fisica statistica e nucleare come menzionato prima in cui tali calcoli sono comuni (Vedi per esempio: http://arxiv.org/pdf/math-ph/0309020.pdf per avere più contesto su una applicazione).