Come studiare da soli l'algebra lineare

Okay chiaramente mi interessa troppo insegnare l'algebra lineare:

I. I due livelli dell'algebra lineare

Ci sono due livelli di comprensione dell'algebra lineare che penso siano più rilevanti:

EDIT: Ho appena realizzato quanto facilmente il mio consiglio qui può essere frainteso. Voglio sottolineare che (2) non intende rappresentare tutto il materiale "astratto" quanto una certa tendenza pedagogica nell'insegnamento dell'algebra lineare "avanzata" che cerca di evitare le matrici (e talvolta anche il determinante... Axler non lo fa fino al capitolo 10 o qualcosa del genere). Pensare a matrici e vettori come oggetti astratti e introdurre la nozione di "spazio vettoriale" ecc. conta ancora come (1) ed è effettivamente fatto, per esempio, nei libri/lezioni di Strang, ed è sicuramente parte dei fondamenti. Faccio questo contrasto principalmente per combattere l'idea che in qualche modo "se sei intelligente, dovresti solo fare Linear Algebra Done Right e non pensare mai alle matrici", che penso sia una trappola per i principianti "intelligenti". Penso che l'astrazione degli spazi vettoriali sia preziosa, anche per (1). Mi scuso per questa confusione e ho cambiato leggermente la mia formulazione.

1) usando le matrici come punto focale. Questa è la scuola di Strang, che sostiene che il metodo migliore è giocare con le matrici attraverso calcoli concreti. Per questo, gli appunti delle lezioni di Strang al MIT OCW sono considerati da molti la migliore risorsa (le opinioni sul suo libro sono più contrastanti, ma personalmente penso ancora che siano utili). Se vedi l'algebra lineare come uno strumento che vuoi usare invece di una storia che vuoi imparare. Ti consiglio vivamente di fermarti qui e di imparare ad usare lo strumento in calcoli reali. Se sei un po' più ambizioso, magari prendi qualche progetto che coinvolga MATLAB, Mathematica, Maple o SAGE. Vedere i numeri reali aiuta molto. Questo è il motivo per cui persone come Alan Edelman sono ridicole con le matrici.

2) usare l'algebra lineare astratta come obiettivo. Questo è l'approccio "Linear Algebra Done Right" che penso sia orribile se si vuole imparare solo come strumento. Per, diciamo, uno studente laureato in matematica, questo diventa indispensabile (tuttavia, la maggior parte delle persone che insegniamo non diventano studenti laureati, un fatto che noi matematici siamo orribili a ricordare). Il libro di Axler è abbastanza buono in questo, ma una gemma che non vedo raccomandata abbastanza è Paul Halmos; The Linear Algebra Problem Book. Mentre la gente dovrebbe davvero leggere qualsiasi cosa di Paul Halmos, ho trovato questa raccolta particolarmente utile e divertente. Come bonus, penso che anche le persone che sono interessate solo a (1) possono guadagnare un bel po' da questo libro.

Penso che, a meno che tu non abbia del talento, saltare direttamente a (2), anche se lo capisci, non ti rende bravo a (1). È stato detto (mi sto prendendo una piccola libertà) che i migliori matematici si rifiutano di riconoscere righe e colonne di numeri, ma quando la notte è arrivata e la terra è buia e i loro genitori non stanno guardando, sono nei loro uffici a lottare segretamente per moltiplicare matrici (e spesso sbagliando). Per la maggior parte del mondo che usa la matematica (cioè: non i matematici), imparare (1) solidamente e fare (2) come divertimento/ispirazione sembra essere il modo migliore e più indolore di procedere. Se lo fai, sii orgoglioso del fatto che stai imparando l'Algebra Lineare fatta male, perché è ancora algebra lineare ed è ancora fantastica.

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II. La preparazione mentale per l'algebra lineare

Un'altra cosa che voglio davvero menzionare è che l'algebra lineare è un pasto piuttosto grande per la maggior parte dei nuovi arrivati, quindi avere "principi guida" nella tua mente mentre la impari accelererà il processo. Ecco i 3 che ho trovato più utili per i miei studenti e per me stesso:

1) tenere una lista di "cose equivalenti" all'invertibilità. Vi renderete conto che un sacco di concetti si concentrano in questo modo, dagli autovalori alla risoluzione di equazioni, al rango, alla presa degli inversi di matrice. Le persone esperte fanno queste cose abbastanza automaticamente, ma potrebbe volerci del tempo per abituarsi a questo se siete nuovi.

2) pensate sempre a come prendere lo "scheletro" di una matrice che cattura la maggior parte della sua essenza. L'esempio più chiaro di questo è uno sporco segreto: ai matematici (e specialmente ai fisici) piace "strizzare l'occhio" a una matrice e vedere solo una matrice diagonale con gli autovalori sulla diagonale, poi fanno affermazioni intelligenti sulla matrice e le giustificano in seguito con trasformazioni di similarità e (Dio non voglia) la forma di Jordan.

3) (leggermente più rilevante per il pensiero astratto, ma utile per entrambi) le matrici hanno sempre due interpretazioni: una come una trasformazione che mangia vettori e sputa fuori vettori; l'altra come una forma bilineare che mangia due vettori e sputa fuori un numero. Per uccidere la vostra confusione dell'80%, ricordatevi sempre mentalmente in quale mondo vi trovate. Questo ti aiuta anche a ricordare quando devi avvolgere la tua matrice per qualcosa e la sua inversa (la prima) e quando devi avvolgere la tua matrice per qualcosa e la sua trasposizione (la seconda).

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III. L'applicazione dell'algebra lineare

Questo è per imparare un corso di algebra lineare. Naturalmente, c'è anche come vedere l'algebra lineare nel resto del mondo, che per me è una parte importante (ma ehi, se davvero ti interessa solo il corso, smetti di leggere. Peggio per voi). Per questo, vedo due cose principali:

1) cercare una matrice. Ogni volta che c'è una trasformazione, come una proiezione, c'è una matrice. Facciamo un ulteriore passo avanti: ogni volta che avete variabili indipendenti, potete pensare che si stiano "trasformando" in variabili dipendenti. Se si segue il rasoio di Occam e si assume che questo sia lineare (la maggior parte delle cose lo sono, o possono essere stimate), si ha una trasformazione! Penso che questo (avere variabili indipendenti e dipendenti) sia la ragione numero uno per cui l'algebra lineare viene fuori nella scienza. Avrei davvero voluto che qualcuno me lo dicesse prima, quindi lo dico ora. Molto dell'apprendimento automatico, dell'econometria e della statistica si riducono davvero a questo (eccetto che ML chiama le variabili "caratteristiche" per essere snoots).
2) la singola parte dell'algebra lineare più degna di applicazione è l'analisi delle componenti principali, conosciuta anche con un milione di altri nomi, poiché ogni campo la riscopre e ci mette il proprio nome. L'esempio giocattolo che ho in testa è quando hai un sacco di punti su un grafico 2-D che cade in una linea - non vuoi davvero pensarlo come una linea in una dimensione? Congratulazioni, hai scoperto l'analisi a componenti principali 1-d (o la regressione lineare; non penso che le due cose siano molto diverse =D).

Venti sicuri.