Qual è la probabilità di ottenere 4 domande giuste in un quiz con una scelta multipla di 4 risposte per 5 domande?

Per calcolare una probabilità, dobbiamo decidere un processo casuale e un modello per descrivere quel processo. La tua domanda non mi dice assolutamente nulla su un processo casuale, quindi non hai specificato abbastanza per stabilire quale modello usare. Farò le mie ipotesi che spero siano d'accordo con quello che intendevi chiedere.

Prima di tutto, assumerò che ciascuna delle cinque domande abbia quattro scelte (chiamale a, b, c e d), e che esattamente una di queste quattro sia corretta. Poi, assumerò che su ogni domanda, una persona scelga una delle quattro scelte a caso in modo tale che:

• Ognuna delle quattro scelte ha la stessa probabilità di essere scelta su ogni domanda.
• Le scelte fatte su ogni domanda sono indipendenti. (Questo significa approssimativamente che sapere cosa è stato scelto in un certo gruppo di domande non influisce su cosa viene scelto in altre domande)

La seconda assunzione elencata ci permette di ignorare come l'autore del quiz abbia deciso quale lettera assegnare alla risposta corretta. Potrebbero essere tutte assegnate ad a (per esempio) e ciò non avrebbe alcun impatto su questo calcolo. Equivalentemente, potremmo invece assumere che l'autore abbia scelto quale lettera assegnare alla risposta corretta in modo indipendente per ogni problema con una probabilità uguale per ogni scelta. Questa ipotesi darebbe la stessa risposta indipendentemente da come lo studente ha deciso quale lettera indovinare.

Con queste ipotesi in mano, si scopre che questo processo casuale è un Esperimento Binomiale. Il numero di risposte indovinate correttamente (chiamatelo [math]X[/math]) segue una distribuzione Binomiale con parametri [math] n=5[/math] e [math]p=frac 1 4[/math]. Per qualsiasi [math]k\in\0,1,2,3,4,5\}[/math] risulta che la probabilità che [math]X=k[/math] sia data da:
[math]\mathbb P(X=k)=\binom n k p^k(1-p)^{n-k}[/math]

Plugando [math]k=4[/math] risposte indovinate, [math]n=5[/math] domande totali, e [math]p=\frac 1 4[/math] possibilità di indovinare ogni risposta giusta si ottiene:
[math]\mathbb P(X=4)=\binom 5 4 \sinistra(\frac 1 4\destra)^4\sinistra(\frac 3 4\destra)^{5-4} = \frac{15}{1024}<1.5[/math]%

Si noti che i presupposti sono davvero importanti. Nella mia vita, ho fatto molti quiz come quello che descrivi, e ho avuto 4 (o più) risposte giuste nella maggior parte dei casi, quindi la probabilità dell'1,5% certamente non è "vera" per il mio approccio al test.

Ma anche se usi una strategia di indovinare a caso e un'assegnazione casuale della lettera alla risposta corretta, l'indipendenza è essenziale.

Per esempio, l'autore del quiz potrebbe scegliere a caso con uguale probabilità quale lettera assegnare alla risposta corretta alla prima domanda. Potrebbe poi seguire uno schema sequenziale per il resto delle risposte. (Per esempio, se scegliesse a caso la b per la domanda 1, allora sceglierebbe la c per la domanda 2, la d per la domanda 3, la a per la domanda 4, e di nuovo la b per la domanda 5). Si scopre che con un tale incarico, su ogni domanda, c'è 1/4 di possibilità che ogni lettera sia la risposta corretta; tuttavia, le risposte non sono indipendenti. Allo stesso modo, lo studente potrebbe scegliere a caso un'ipotesi per la prima domanda (con la stessa probabilità di scegliere qualsiasi risposta) ma poi seguire uno schema sequenziale per le altre ipotesi (proprio come l'autore del quiz).

In questo scenario, abbiamo ancora un'assegnazione casuale di risposte corrette con tutte le scelte ugualmente probabili, e abbiamo ancora un'ipotesi casuale con tutte le scelte ugualmente probabili. Tuttavia, ora ci sono solo due possibili scenari. O l'ipotesi e la risposta corrispondono alla prima domanda (e quindi a TUTTE le domande successive) o non corrispondono alla prima domanda (e quindi non corrispondono a nessuna risposta successiva). In questo scenario, c'è un 25% di possibilità che lo studente indovini tutte e 5 le risposte giuste e un 75% di possibilità che lo studente non indovini nessuna risposta correttamente.

Come potete vedere, l'assunzione di indipendenza fa una grande differenza.