Se f(x) è un polinomio tale che f(1) =1, f(2) =2, f(3) =3 e f(4) =16. Trovare il valore di f(5)?

Non può essere determinato, a meno che non si prendano delle ipotesi.

Qualsiasi polinomio di ordine [math]n[/math] richiede di avere [math]n+1[/math] dati/informazioni.

Un polinomio lineare/linea [math]y=ax+b[/math] richiede due punti per essere definito completamente.

Un polinomio quadratico/parabola [math]y=ax^2+bx+c[/math] richiede tre punti per essere definito completamente.

Quindi, un polinomio di 4° ordine richiederà 5 set di dati.

Se si considera [math]f(x)[/math] nella domanda di cui sopra come un polinomio del 3° ordine (ipotesi), allora la domanda può essere risolta.

In generale, si può assumere [math]f(x)[/math] come un polinomio del 4° ordine e per risolverlo, assumere il coefficiente di ordine più alto/capofila come 1. Ci sono state risposte a questa domanda in cui le persone l'hanno risolta in modo rozzo. But, I would like to highlight the beauty of the problem by considering a 3 degree polynomial.

Notice one similarity in the question.

The value of the function (independent variable) is equal to the dependent variable for [math]x=1,2,3[/math].

Now, since [math]f(x) = x[/math] is satisfied by [math]x=1,2,3[/math]

and [math]f(x)[/math] is a 3rd order polynomial (assumption).

Define a function-

[math]g(x) = f(x) - x[/math]

The function [math]g(x)[/math][math] = [/math][math]0[/math] at [math]x=1,2,3[/math]

which means they are the roots of the function.

Hence,

[math]g(x) = f(x) - x = a(x-1)(x-2)(x-3)[/math]

[math]g(4) = f(4) - 4 = a*3![/math]

[math]a=2[/math]

[math]g(5)= f(5) - 5 = 2*4*3*2[/math]

[math]f(5)= 53[/math]

This approach would have been beautiful if [math]f(4)[/math] had been [math]4[/math] then,

[math]g(x) = f(x) - x = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)[/math]

[math]f(5)=5+4!=29[/math]

Una domanda simile a questa può essere:

Se [math]f(x)[/math] è un polinomio di 4° ordine con coefficiente iniziale 1 e [math]f(-1) = 1, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9[/math][math].[/math] Trova [math]f(5)[/math][math]?[/math]

Off you go.