Qual è la serie McLaurin di #f (x) = sinh (x)?
Risposta:
sinhx=∞∑k=0x2k+1(2k+1)!
Spiegazione:
Possiamo derivare la serie McLaurin per sinh(x) dall'una all'altra funzione esponenziale: come per ogni n:
[dndxnex]x=0=e0=1
la serie Mc Laurin per ex è:
ex=∞∑n=0xnn!
Ora come:
sinhx=ex−e−x2
Abbiamo:
sinhx=12[∞∑n=0xnn!−∞∑n=0(−x)nn!]
ed è facile vederlo per n anche i termini sono gli stessi e si annullano a vicenda, in modo che rimangano solo i termini dell'ordine dispari:
sinhx=12[∞∑k=0x2k+1(2k+1)!−∞∑k=0(−1)2k+1x2k+1(2k+1)!]=12[∞∑k=0x2k+1(2k+1)!+∞∑k=0x2k+1(2k+1)!]=∞∑k=0x2k+1(2k+1)!
Possiamo giungere direttamente alla stessa conclusione, osservando che:
ddxsinhx=coshx
d2dx2sinhx=ddxcoshx=sinhx
in modo che tutti i derivati di ordine dispari siano uguali coshx e tutti i derivati di pari ordine sono uguali sinhx
Ma sinh(0)=0 e cosh(0)=1 dando lo stesso risultato.