Qual è la serie McLaurin di #f (x) = sinh (x)?

Risposta:

sinhx=k=0x2k+1(2k+1)!

Spiegazione:

Possiamo derivare la serie McLaurin per sinh(x) dall'una all'altra funzione esponenziale: come per ogni n:

[dndxnex]x=0=e0=1

la serie Mc Laurin per ex è:

ex=n=0xnn!

Ora come:

sinhx=exex2

Abbiamo:

sinhx=12[n=0xnn!n=0(x)nn!]

ed è facile vederlo per n anche i termini sono gli stessi e si annullano a vicenda, in modo che rimangano solo i termini dell'ordine dispari:

sinhx=12[k=0x2k+1(2k+1)!k=0(1)2k+1x2k+1(2k+1)!]=12[k=0x2k+1(2k+1)!+k=0x2k+1(2k+1)!]=k=0x2k+1(2k+1)!

Possiamo giungere direttamente alla stessa conclusione, osservando che:

ddxsinhx=coshx

d2dx2sinhx=ddxcoshx=sinhx

in modo che tutti i derivati ​​di ordine dispari siano uguali coshx e tutti i derivati ​​di pari ordine sono uguali sinhx

Ma sinh(0)=0 e cosh(0)=1 dando lo stesso risultato.

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