Come trovare una formula per la somma n termini #sum_ (i = 1) ^ n (1 + i / n) (2 / n) # e quindi trovare il limite come # n-> oo #?

Let # S_n = sum_(i=1)^n (1+i/n)(2/n) #
# :. S_n = sum_(i=1)^n (2/n+(2i)/n^2) #
# :. S_n = 2/n sum_(i=1)^n (1) + 2/n^2 sum_(i=1)^n (i)#

E usando i risultati standard:

# sum_(r=1)^n r = 1/2n(n+1) #

Abbiamo;

# S_n = 2/n(n)+2/n^2*1/2n(n+1) #
# :. S_n = 2+(n+1)/n #
# :. S_n = ((2n)+(n+1))/n #
# :. S_n = (3n+1)/n #

Ora esaminiamo il comportamento di # S_n # as # n rarr oo #.
Abbiamo;

# S_n = (3n+1)/n #
# :. S_n = 3+1/n #
# :. lim_(n rarr oo)S_n = lim_(n rarr oo) { 3+1/n } #
# :. lim_(n rarr oo)S_n = lim_(n rarr oo) (3) - lim_(n rarr oo)(1/n) #

E come #1/n rarr 0# as #n rarr oo#, noi abbiamo;

# :. lim_(n rarr oo)S_n = 3 #