Come trovi la media della variabile casuale # x #?

Ci viene dato questo #X# potrebbe assumere i valori #{0,1,2,3}# con le rispettive probabilità #{0.15, 0.35, 0.45, 0.05}#. Da #X# è discreto, possiamo immaginare #X# come un dado a 4 facce che è stato ponderato in modo da atterrare su "0" il 15% delle volte, "1" il 35% delle volte, ecc.

La domanda è: quando lanciamo questo dado una volta, quale valore dobbiamo aspettarci di ottenere? O forse, se tiriamo il dado un numero enorme di volte, quale dovrebbe essere il valore medio di tutti quei tiri?

Bene, del 100% dei rotoli, il 15% dovrebbe essere "0", il 35% dovrebbe essere "1", il 45% dovrebbe essere "2" e il 5% dovrebbe essere "3". Se sommiamo tutti questi, avremo ciò che è noto come a media ponderata.

In effetti, se posizionassimo questi pesi relativi nei loro punti corrispondenti su una linea numerica, il punto che "bilancerebbe la scala" è la media che cerchiamo.

Questo è un buon modo per interpretare la media di una variabile casuale discreta. Matematicamente, la media #mu# è la somma di tutti i possibili valori, ponderata dalle loro probabilità. Come formula, questo è:

#mu = E[X] = sum_("all " x)[x * P(X=x)]#

Nel nostro caso, questo risulta essere:

#mu = [0*P(0)]+[1*P(1)]+[2*P(2)]+[3*P(3)]#
#color(white)mu=(0)(0.15)+(1)(0.35)+(2)(0.45)+(3)(0.05)#
#color(white)mu="       "0"       "+"    "0.35"    "+"     "0.9"     "+"    "0.15#
#color(white)mu=1.4#

Quindi, su un gran numero di rotoli, ci aspetteremmo che il valore medio del rotolo sia #mu=1.4#.

La varianza è una misura della "diffusione" di #X#. Tornando alla nostra idea di "linea di numeri bilanciati", se spostassimo i nostri pesi fuori dal nostro "centro di gravità" #mu# in modo che siano due volte più lontani, #mu# di per sé non cambierebbe, ma la varianza aumenterebbe di un fattore 4.

Questo perché la varianza #sigma^2# di una variabile casuale è la media quadrato distanza tra ogni possibile valore e #mu#. (Quadriamo le distanze in modo che siano tutte positive.) Come formula, questo è:

#sigma^2="Var"(X)=E[(X-mu)^2]#

Usando un po 'di algebra e teoria della probabilità, questo diventa

#sigma^2=E[X^2]-mu^2#
#color(white)(sigma^2)=sum_("all x")x^2P(X=x)" "-" "mu^2#

Per questo problema, otteniamo

#sigma^2=[0^2*P(0)]+[1^2*P(1)]+[2^2*P(2)]#
#color(white)(sigma^2=)+[3^2*P(3)]" "-" "1.4^2#
#color(white)(sigma^2)=(0)(0.15)+(1)(0.35)+(4)(0.45)+(9)(0.05)#
#color(white)(sigma^2=)-1.96#
#color(white)(sigma^2)=0.64#

Quindi la distanza media quadrata tra ciascuna possibile #X# valore e #mu# is #sigma^2=0.64#.

La deviazione standard è semplice: è solo la radice quadrata della varianza. Ma perché preoccuparsene se è praticamente lo stesso? Perché le unità di #sigma^2# sono la piazza delle unità di #X#. Se #X# misura il tempo, ad esempio, la sua varianza è in unità di #"(time)"^2#, che in realtà non ci aiuta se stiamo cercando di stabilire un "margine di errore".

Ecco dove entra in gioco la deviazione standard. La deviazione standard #sigma# of #X# è una misura di quanto lontano da #mu# dovremmo aspettarci #X# essere. È semplicemente

#sigma= sqrt (sigma^2)#

Per questo problema, funziona

#sigma = sqrt(0.64)=0.8#

Quindi ogni volta che scegliamo un #X#, la distanza prevista tra #mu# e che #X# is #sigma=0.8#. E da allora #sigma# è nelle stesse "unità" di #X#, è molto più facile da usare per aiutarci a costruire un margine di errore. (Vedere: intervalli di confidenza.)