Come risolvere la migliore stima puntuale per la media della popolazione e calcolare il margine di errore? In cui: un campione casuale di n = 75 osservazioni da una popolazione quantitativa ha prodotto una media di 29.7 e s = 3.286

La migliore stima puntuale per una media della popolazione #mu# è la media del campione #barx#. In questo caso, avremmo la stima puntuale

#hatmu = barx=29.7#

Il margine di errore è un valore massimo di quanto lontano #hatmu# verrà da #mu,# basato su un livello di confidenza #alpha.# Per esempio, se #alpha = 0.05,# allora c'è una probabilità del 95% nostra #hatmu# sarà all'interno del margine di errore della popolazione effettiva #mu.#

La formula per un margine di errore (ME) per una media di esempio è:

#"ME"=t_(alpha//2, n-1)xxs/sqrtn#

o se #n# è abbastanza grande:

#"ME"=z_(alpha//2)xxs/sqrtn#

(Questo perché, come #nrarroo#, la #t# distribuzione con #n-1# gradi di libertà si avvicina la distribuzione normale standard #Z#.)

Utilizzando la prima opzione con #alpha = 0.05#, noi abbiamo:

#"ME"=t_(0.05//2,"  " 75-1)xx3.286/sqrt75#

#color(white)"ME"~~t_(0.025,74)xx3.286/(8.6603)#

#color(white)"ME"~~1.9925xx0.3794#

#color(white)"ME"~~0.7560#

Utilizzando la seconda opzione (di nuovo, con #alpha=0.05#), noi abbiamo:

#"ME"=z_(0.05//2)xx3.286/sqrt75#

#color(white)"ME"~~z_(0.025)xx3.286/(8.6603)#

#color(white)"ME"~~1.9600xx0.3794#

#color(white)"ME"~~0.7437#

Come puoi vedere, entrambi i metodi danno quasi lo stesso valore (0.7560 e 0.7437 sono distanti circa 0.013). Questo è il motivo per cui spesso usiamo solo la seconda formula, poiché è più facile trovare valori per #z_(alpha//2).# Tuttavia, la prima opzione è più accurata, poiché la distribuzione di #barX# è più vicino a #t# rispetto a #Z,# e fornirà sempre un margine di errore più ampio, quindi è un po 'più sicuro.