Lisa

Qual è la serie di Taylor di #f (x) = arctan (x) #? #f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}# Vediamo alcuni dettagli. #f(x)=arctanx# #f'(x)=1/{1+x^2}=1/{1-(-x^2)}# Ricorda che la serie di potenze geometriche #1/{1-x}=sum_{n=0}^infty x^n# sostituendo #x# by #-x^2#, #Rightarrow 1/{1-(-x^2)}=sum_{n=0}^infty(-x^2)^n=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}# Così, #f'(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}# Integrando, #f(x)=int sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}dx# inserendo il segno integrale nella sommatoria, #=sum_{n=0}^infty int (-1)^n x^{2n}dx# da Power Rule, #=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}+C# Dal #f(0)=arctan(0)=0#, … Leggi tutto