Che cosa significa punto esclamativo in matematica?

La definizione formale di #n!# (n fattoriale) è il prodotto di tutti i numeri naturali minori o uguali a #n#. Nei simboli matematici:
#n! = n*(n-1)*(n-2)...#

Fidati di me, è meno confuso di quanto sembri. Di 'che volevi trovare #5!#. Basta moltiplicare tutti i numeri inferiori o uguali a #5# fino ad arrivare a #1#:
#5! = 5*4*3*2*1=120#

Or #6!#:
#6! = 6*5*4*3*2*1=720#

La cosa grandiosa dei fattoriali è la facilità con cui puoi semplificarli. Supponiamo che ti venga dato il seguente problema:
Calcolare #(10!)/(9!)#.

Sulla base di quello che ti ho detto sopra, potresti pensare che dovrai moltiplicarti #10*9*8*7...# e dividerlo per #9*8*7*6...#, che probabilmente richiederà molto tempo. Tuttavia, non deve essere così difficile. Da #10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1# e #9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1#, puoi esprimere il problema in questo modo:
#(10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/(9*8*7*6*5*4*3*2*1)#

E dai un'occhiata a quello! I numeri #1# attraverso #9# Annulla:
#(10*cancel9*cancel8*cancel7*cancel6*cancel5*cancel4*cancel3*cancel2*cancel1)/(cancel9*cancel8*cancel7*cancel6*cancel5*cancel4*cancel3*cancel2*cancel1)#

Lasciandoci con #10# come risultato.

A proposito, #0! = 1#. Per scoprire perché, dai un'occhiata a questo collegamento .

Applicazioni dei fattoriali
Il luogo in cui i fattoriali sono davvero utili è la probabilità. Ad esempio: quante parole puoi scrivere dalle lettere #ABCDE#, senza ripetere nessuna lettera? (Le parole in questo caso non devono avere senso - puoi avere #AEDCB#, per esempio).

Bene, hai #5# scelte per la tua prima lettera, #4# per la tua prossima lettera (ricorda - nessuna ripetizione; se hai scelto #A# per la tua prima lettera, puoi solo scegliere #BCDE# per il tuo secondo), #3# per il prossimo, #2# per quello dopo quello, e #1# per l'ultimo. Le regole di probabilità dicono che il numero totale di parole è il prodotto delle scelte:
#underbrace(5)_("choices for first letter")*4*3*2*1#

E quattro è il numero di scelte per la seconda lettera e così via. Ma aspetta - lo riconosciamo, giusto! Suo #5!#:
#5! = 5*4*3*2*1=120#
Quindi ci sono #120# modi.

Vedrai anche fattoriali in uso permutazioni e combinazioni, che hanno anche a che fare con la probabilità. Il simbolo per le permutazioni è #"_nP_r#e il simbolo per le combinazioni è #"_nC_r# (le persone usano #((n),(r))# per le combinazioni il più delle volte, però, e dici "n scegli r".) Le formule per loro sono:
#"_nP_r=(n!)/((n-r)!)#
#"_nC_r=(n!)/((n-r)!r!)#

Lì vediamo il nostro amico, il fattoriale. Una spiegazione di permutazioni e combinazioni renderebbe ancora più lunga questa risposta già lunga, quindi controlla questo link per permutazioni e questo link per combinazioni.