Che cos'è un limite per la mano sinistra?

Un limite per la sinistra indica il limite di una funzione mentre si avvicina dal lato sinistro.

D'altra parte, un limite per la mano destra indica il limite di una funzione mentre si avvicina dal lato destro.

Quando si ottiene il limite di una funzione mentre si avvicina a un numero, l'idea è quella di verificare il comportamento della funzione mentre si avvicina al numero. Sostituiamo i valori il più vicino possibile al numero che si sta avvicinando.

Il numero più vicino è il numero che si sta avvicinando. Quindi, di solito si sostituisce semplicemente il numero che si sta avvicinando per ottenere il limite.

Tuttavia, non possiamo farlo se il valore risultante non è definito.
Ma possiamo ancora verificarne il comportamento mentre si avvicina da una parte.

Un buon esempio è #lim_(x->0) 1/x#.

Quando lo sostituiamo #x = 0# nella funzione, il valore risultante non è definito.

Controlliamo il suo limite mentre si avvicina dal lato sinistro

#f(x) = 1/x#

#f(-1) = 1/-1 = -1#
#f(-1/2) = 1/(-1/2) = -2#
#f(-1/10) = 1/(-1/10) = -10#
#f(-1/1000) = 1/(-1/1000) = -1000#
#f(-1/1000000) = 1/(-1/1000000) = -1000000#

Notate che man mano che ci avviciniamo sempre più #x = 0# dal lato sinistro, il valore risultante diventa sempre più grande (anche se negativo). Possiamo concludere che il limite come #x -> 0# dal lato sinistro è #-oo#

Ora controlliamo il limite dal lato destro

#f(x) = 1/x#

#f(1) = 1/1 = 1#
#f(1/2) = 1/(1/2) = 2#
#f(1/10) = 1/(1/10) = 10#
#f(1/1000) = 1/(1/1000) = 1000#
#f(1/1000000) = 1/(1/1000000) = 1000000#

Il limite come #x -> 0# dal lato destro è #oo#

Quando il limite del lato sinistro di una funzione è diverso dal limite del lato destro, possiamo concludere che la funzione è discontinua rispetto al numero in avvicinamento.