Come si determina il numero di radici complesse di un polinomio di grado n?

Teorema fondamentale dell'algebra

Il teorema fondamentale dell'algebra (FTOA) ci dice che qualsiasi polinomio non costante in una variabile con coefficienti complessi (possibilmente reali) ha uno zero in #CC# (l'insieme dei numeri complessi).

Un semplice corollario di questo (spesso dichiarato come parte dell'FTOA) è che un polinomio di grado #n# con coefficienti complessi (possibilmente reali) ha esattamente #n# Zeri complessi (possibilmente reali) che contano la molteplicità.

Quindi una semplice risposta alla tua domanda sarebbe quella di un polinomio di laurea #n# ha esattamente #n# Zeri complessi che contano la molteplicità.

#color(white)()#
Quanti di quelli #n# gli zeri sono reali e quanti non reali?

Se il polinomio ha coefficienti reali, allora si verificheranno zeri complessi in coppie coniugate complesse. Quindi il numero di zeri non reali sarà pari.

#color(white)()#
Regola dei segni di Cartesio

Se i coefficienti sono reali, allora possiamo scoprire altre cose sugli zeri osservando i segni dei coefficienti.

If #f(x)# è scritto in forma standard con poteri discendenti di #x# quindi guarda il modello di segni di coefficienti. Il numero di modifiche ti dà il numero massimo possibile di zeri reali positivi. Se ci sono meno zeri reali positivi, allora è inferiore di un numero pari.

Per determinare il possibile numero di zeri reali negativi, osservare i segni dei coefficienti di #f(-x)#. Ciò equivale a invertire il segno in termini di grado dispari.

Ad esempio, considera:

#f(x) = x^4+x^3-x^2+x-2#

I segni dei coefficienti sono nel modello #+ + - + -#

Poiché ci sono #3# cambiamenti di segno, ci sono #3# or #1# zeri reali positivi.

#f(-x) = x^4-x^3-x^2-x-2#

ha coefficienti con segni #+ - - - -#

Poiché c'è #1# cambio di segno, #f(x)# ha esattamente #1# zero reale negativo.

Dal momento che il numero totale di zeri di #f(x)# is #4#, significa che ha #0# or #2# zeri complessi non reali.

#color(white)()#
discriminanti

I discriminanti sono un altro strumento utile, che descriverò in un'altra risposta.