Come si determina se un vettore è ortogonale, parallelo o nessuno dei due?

Ovviamente puoi verificare se un vettore è ortogonale, parallelo o nessuno dei due rispetto ad un altro vettore. Quindi, diciamo che i nostri vettori hanno #n# coordinate.

Il concetto di parallelismo è equivalente a quello del multiplo, quindi due vettori sono paralleli se è possibile ottenere l'uno dall'altro tramite moltiplicazioni per un numero: ad esempio, #v=(3,2,-5)# è parallelo a #w=(30,20,-50)# e #z=(-3,-2,5)#, perché #w=10*v# e #z=(-1)*v#.

Per verificare se due vettori sono ortogonali, invece, è possibile utilizzare il prodotto scalare. Se hai due vettori
#a=(a_1,...,a_n)# e #b=(b_1,...,b_n)#, il prodotto scalare #a*b# è definito (per i vettori numerici) come

#a*b = a_1b_1 + a_2b_2+...+a_nb_n = sum_{i=1}^n a_ib_i#

Il prodotto scalare viene spesso utilizzato per definire il concetto di ortogonalità stessa, quando si lavora con vettori non numerici, che non è possibile visualizzare correttamente, e si dice che due vettori siano ortogonali se il loro prodotto scalare è zero. Ad esempio, se si considera lo spazio vettoriale della funzione continua, come si può "vedere" se due funzioni sono ortogonali? Definisci un prodotto scalare adeguato su quello spazio e se #f*g=0#, poi #f# e #g# sono ortogonali.

Possono essere esempi numerici di vettori ortogonali

#a=(3,2,1)#, #b=(1,1,-6)#, da

#a*b = 3*1+2*1+1*(-6)=6-6=0#.

o per esempio un facile controllo che il #x# e #y#l'asse è ortogonale (ovviamente)! è

#x=(1,0)#, #y=(0,1)# e

#x*y = 1*0+0*1=0+0=0#.