Come si trova il vettore normale dell'unità principale rispetto alla curva al valore specificato del parametro #r (t) = cos (3t) i + 2 sin (3t) j + k # dove t è pi?

Questo è davvero un problema di calcolo e il vettore normale dell'unità principale non è lo stesso di un vettore normale al piano in cui si trova la curva.

Il vettore di velocità è #vec{v}(t)=vec{r}'(t)=-3sin(3t)hat{i}+6cos(3t)hat{j}# e la sua lunghezza (la velocità) è #||vec{v}(t)||=sqrt{9sin^{2}(3t)+36cos^{2}(3t)}#.

Ciò significa che il vettore tangente dell'unità è #vec{T}(t)=frac{vec{v}(t)}{||vec{v}(t)||}=frac{-3sin(3t)hat{i}+6cos(3t)hat{j}}{sqrt{9sin^{2}(3t)+36cos^{2}(3t)}}#. A #t=pi#, questo diventa #vec{T}(pi)=-hat{j}#.

La curva si trova nel piano #z=1#, quindi il vettore normale dell'unità principale #vec{N}(pi)# giace sullo stesso piano (e sullo stesso piano di #vec{T}(pi)#), sarà perpendicolare a #vec{N}(pi)#e punterà direttamente verso il centro di curvatura, che in questo caso è il centro #(0,0,1)# dell'ellisse che la curva sta tracciando nel piano #z=1#. Si noti anche che #r(pi)=-hat{i}+hat{k}# (la curva è nel punto #(-1,0,1)# at #t=pi#).

Pertanto, sarà il vettore normale dell'unità principale #vec{N}(pi)=hat{i}#.

Ecco una foto della situazione. Il positivo #x#l'asse sta venendo verso di te e il positivo #y#l'asse sta andando a destra. Il punto #(-1,0,1)# viene mostrato insieme al vettore normale dell'unità #vec{N}(pi)=hat{i}#. Ancora una volta, non è normale all'aereo. È normale per la curva e si trova sullo stesso piano del "cerchio oscillante" o "cerchio della migliore misura" in un determinato punto (non mostrato), che si trova nel piano #z=1#.