Come si trova un numero positivo in modo tale che la somma del numero e del suo reciproco sia il più piccola possibile?
Risposta:
La somma più piccola di un numero #n# e il suo reciproco #1/n# is #2# che si verifica quando #n = 1#. Qualsiasi altro valore di #n# produrrà una somma maggiore.
Spiegazione:
Consideriamo un numero positivo #n#, assicurarsi #n ne 0# in modo che non abbiamo un reciproco indefinito.
Vogliamo trovare un #1/n# così #n + 1/n# è ridotto al minimo. Possiamo chiamare questa somma una funzione #f(n) = n + 1/n#.
Ora prendiamo il derivato di #f(n)# wRT #n# e impostarlo uguale a zero per ottenere il minimo.
#f'(n) = 1 -1/n^2#
#1 - 1/n^2 = 0#
#1 = 1/n^2#
#n^2 = 1#
#n = +- 1#
Tuttavia, rifiutiamo il valore negativo come #n > 0#. Quindi, #n = 1#.
Quindi la somma minima ottenibile è #f(1) = 1+ 1/1 = 2#
Quindi, la somma più piccola di un numero #n# e il suo reciproco #1/n# è 2 quando #n = 1#. Qualsiasi altro valore di #n# produrrà una somma maggiore.