Come si trova un vettore unitario perpendicolare a un piano 3D formato da punti (1,01), (0,2,2) e (3,3,0)?

La nostra strategia sarà quella di trovare due vettori nel piano, prendere il loro prodotto incrociato per trovare un vettore perpendicolare a entrambi (e quindi al piano), quindi dividere quel vettore per la sua misura per renderlo un vettore unitario.

Passo 1) Trova due vettori nell'aereo.

Lo faremo trovando il vettore da #(1,0,1)# a #(0,2,2)# e di #(1,0,1)# a #(3,3,0)#. Dato che tutti e tre i punti sono sul piano, anche ciascuno di questi vettori lo sarà.

#vec(v_1) = (0,2,2)-(1,0,1) = (-1,2,1)#

#vec(v_2) = (3,3,0)-(1,0,1)=(2,3,-1)#

Passo 2) Trova un vettore perpendicolare al piano.

Se un vettore è perpendicolare a due vettori in un piano, deve essere perpendicolare al piano stesso. Poiché il prodotto incrociato di due vettori produce un vettore perpendicolare a entrambi, useremo il prodotto incrociato di #vec(v_1)# e #vec(v_2)# per trovare un vettore #vec(u)# perpendicolare al piano che li contiene.

#vec(u) = vec(v_1)xxvec(v_2)#

#= |(hat(i), hat(j), hat(k)), (-1, 2, 1), (2, 3, -1)|#

#=(2(-1)-1(3))hat(i)-((-1)(-1)-(1)(2))hat(j)+((-1)(3)-(2)(2))hat(k)#

#=-5hat(i)+hat(j)-7hat(k)#

#=(-5, 1, -7)#

Passo 3) Girare #vec(u)# in un vettore unitario.

Un vettore unitario è un vettore la cui misura è #1#. Utilizzando il fatto che per qualsiasi vettore #vec(v)# e scalare #c#, noi abbiamo #||cvec(v)|| = c||vec(v)||#, noi troveremo #||vec(u)|| = u#, quindi dividi per #u#.

#||vec(u)/u|| = ||vec(u)||/u = u/u = 1#

Poiché la moltiplicazione per uno scalare non cambia la direzione di un vettore, questo sarà un vettore unitario perpendicolare al piano. procedendo,

#||vec(u)|| = sqrt((-5)^2+1^2+(-7)^2) = sqrt(75)=5sqrt(3)#

Quindi, il nostro risultato finale è

#vec(u)/u = ((-5","1","-7))/(5sqrt(3)) = (-1/sqrt(3), 1/(5sqrt(3)), -7/(5sqrt(3)))#