Come trovare le equazioni delle linee tangenti nel punto in cui la curva si incrocia # # = t ^ 2-t # e # y = t ^ 3-3t-1 #?

Il gradiente della tangente a una curva in un determinato punto è dato dalla derivata della curva in quel punto. (Se necessario, allora il normale è perpendicolare alla tangente, quindi lo è il prodotto dei loro gradienti #-1#).

Abbiamo:

# x = t^2-t #
# y = t^3-3t-1 #

Innanzitutto, cerchiamo di trovare le coordinate in cui la curva si incrocia. Nel qual caso ci sarà una coppia ordinata #t_1=alpha# e #t_2=beta# con i #t_1 ne t_2# che soddisfano contemporaneamente le equazioni parametriche, quindi:

# alpha^2-alpha = beta^2-beta# ..... [1]
# alpha^3-3alpha-1 = beta^3-3beta-1# ..... [2]

Da [1] abbiamo:

# alpha^2-beta^2 =alpha -beta #
# :. (alpha+beta)(alpha-beta)=alpha -beta #
# :. alpha+beta= 1 #
# :. beta =1-alpha#

Da [2] abbiamo:

# alpha^3-beta^3 =3alpha -3beta#
# :. (alpha - beta)(alpha^2 + alpha beta + beta^2) = 3(alpha -beta)#
# :. alpha^2 + alpha beta + beta^2 = 3#

# :. alpha^2 + alpha (1-alpha) + (1-alpha)^2 = 3#

# :. alpha^2 + alpha -alpha^2 + 1-2alpha+alpha^2 = 3#
# :. alpha^2-alpha-2 = 0#
# :. (alpha+1)(alpha-2) = 0#
# :. alpha=-1,2#

E con questi valori di #t#si ha:

# t=-1 => x=2,y=1 #
# t= 2 => x=2,y=1 #

Quindi la curva si tocca quando #t=-1,2# corrispondente alla coordinata rettangolare #(2,1)#

Quindi differenziando implicitamente wrt #t#e applicando il regola di derivazione, ci da:

# dx/(dt) = 2t # and # dy/(dt) = 3t^2-3 #

# dy/dx = (dy//dt)/(dx//dt) = (3t^2-3)/(2t) #

Quindi alla coordinata parametrica #t=-1#, noi abbiamo;

# m_1 = dy/dx = (3-3)/(2) = 0#

Quindi passa la tangente #(2,1)# e ha gradiente #m_1=0#, quindi utilizzando la forma punto / pendenza #y-y_1=m(x-x_1)# l'equazione che cerchiamo è;

# y - 1 = 0 #
# :. y = 1 #

E, alla coordinata parametrica #t=2#, noi abbiamo;

# m_2 = dy/dx = (12-3)/(4) = 9/4#

Quindi passa la tangente #(2,1)# e ha gradiente #m_2=9/4#, quindi utilizzando la forma punto / pendenza #y-y_1=m(x-x_1)# l'equazione che cerchiamo è;

# y - 1 = 9/4(x-2) #
# :. y - 1 = 9/4x-9/2 #
# :. y = 9/4x-7/2 #