Come trovi il polinomio di Taylor di terzo grado per #f (x) = ln x #, centrato su a = 2?
Risposta:
#ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3#.
Spiegazione:
La forma generale di un'espansione di Taylor centrata su #a# di una funzione analitica #f# is #f(x)=sum_{n=0}^oof^((n))(a)/(n!)(x-a)^n#. Qui #f^((n))# è l'ennesimo derivato di #f#.
Il polinomio di Taylor di terzo grado è un polinomio costituito dai primi quattro (#n# vanno da #0# a #3#) termini dell'espansione completa di Taylor.
Pertanto questo polinomio è #f(a)+f'(a)(x-a)+(f''(a))/2(x-a)^2+(f'''(a))/6(x-a)^3#.
#f(x)=ln(x)#, perciò #f'(x)=1/x#, #f''(x)=-1/x^2#, #f'''(x)=2/x^3#. Quindi il polinomio di Taylor di terzo grado è:
#ln(a)+1/a(x-a)-1/(2a^2)(x-a)^2+1/(3a^3)(x-a)^3#.
Ora abbiamo #a=2#, quindi abbiamo il polinomio:
#ln(2)+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+1/24(x-2)^3#.