Come trovi la radice quadrata di # 13 #?

Dal #13# è un numero primo, non esiste una forma più semplice per la sua radice quadrata. #sqrt(13)# è un numero irrazionale nel mezzo #3 = sqrt(9)# e #4 = sqrt(16)#.

Interpolando linearmente, una prima approssimazione ragionevole sarebbe:

#sqrt(13) ~~ 3.6 = 18/5#

Possiamo ottenere migliori approssimazioni dal nostro iniziale (chiamalo #a_0#) utilizzando un metodo Newton Raphson.

Una formula tipica utilizzata per derivare un'approssimazione più accurata per #sqrt(n)# sarebbe:

#a_(i+1) = (a_i^2+n)/(2a_i)#

Preferisco separarmi #a_i# nel numeratore #p_i# e denominatore #q_i#. Così #a_i = p_i/q_i# e possiamo iterare usando le formule:

#{ (p_(i+1) = p_i^2 + n q_i^2), (q_(i+1) = 2 p_i q_i) :}#

Nel nostro esempio, #n = 13#, #p_0 = 18#, #q_0 = 5# e troviamo:

#{ (p_1 = p_0^2 + 13 q_0^2 = 324 + 13*25 = 649), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 180) :}#

Se ci fermassimo qui la nostra approssimazione sarebbe:

#sqrt(13) ~~ 649/180 = 3.60bar(5)#

Proviamo un'altra iterazione:

#{ (p_2 = p_1^2 + 13 q_1^2 = 421201 + 13*32400 = 842401), (q_2 = 2 p_1 q_1 = 233640) :}#

Fermandoci qui, abbiamo:

#sqrt(13) ~~ 842401/233640 ~~ 3.60555127547#

Utilizzando una calcolatrice:

#sqrt(13) ~~ 3.60555127546398929311#