Come trovo l'area all'interno di un limacon?

Considera un limaçon con equazione polare:

#r = b + a cos theta#

Poiché la domanda viene posta in una forma semplice, farò un'ipotesi semplificante che il Limaon non si autoincrocia, quindi #abs(a) <= abs(b)#.

Sezionare il limaçon in segmenti infinitesimali attorno alla nota di origine che ogni segmento ha area #1/2 r^2 d theta#

Quindi l'area totale del Lima è:

#int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta = int_0^(2pi) 1/2 (b+acos theta)^2 d theta#

#color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = int_0^(2pi) 1/2 (b^2+2ab cos theta+a^2cos^2 theta) d theta#

#color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = int_0^(2pi) ( 1/2b^2+ab cos theta+1/4a^2(1+cos 2 theta)) d theta#

#color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = [ 1/2b^2 theta+ab sin theta+1/4a^2(theta+1/2sin 2 theta)]_0^(2pi)#

#color(white)(int_0^(2pi) 1/2 r^2 d theta) = pi(b^2+1/2 a^2)#