Come usi le identità trigonometriche fondamentali per determinare la forma semplificata dell'espressione?

"Le identità trigonometriche fondamentali" sono le identità di base:

• Le identità reciproche
• Le identità pitagoriche
• Le identità del quoziente

Sono tutti mostrati nella seguente immagine:

Quando si tratta di semplificare con queste identità, dobbiamo usare combinazioni di queste identità per ridurre un'espressione molto più complessa alla sua forma più semplice.

Ecco alcuni esempi che ho preparato:

a) Semplificare: # tanx/cscx xx secx#

Applica l'identità del quoziente #tantheta = sintheta/costheta# e le reciproche identità #csctheta = 1/sintheta# e #sectheta = 1/costheta#.

#=(sinx/cosx)/(1/sinx) xx 1/cosx#

#=sinx/cosx xx sinx/1 xx 1/cosx#

#=sin^2x/cos^2x#

Riapplicare l'identità del quoziente, al contrario:

#=tan^2x#

b) Semplificare: #(cscbeta - sin beta)/cscbeta#

Applicare l'identità reciproca #cscbeta = 1/sinbeta#:

#=(1/sinbeta - sin beta)/(1/sinbeta)#

Metti il ​​denominatore su un denominatore comune:

#=(1/sinbeta - sin^2beta/sinbeta)/(1/sinbeta)#

Riorganizzare l'identità pitagorica #cos^2theta + sin^2theta = 1#, risolvendo per #cos^2theta#:

#cos^2theta = 1 - sin^2theta#

#=(cos^2beta/sinbeta)/(1/sinbeta)#

#=cos^2beta/sinbeta xx sin beta/1#

#=cos^2beta#

c) Semplificare: #sinx/cosx + cosx/(1 + sinx)#:

Ancora una volta, indossa un denominatore comune:

#=(sinx(1 + sinx))/(cosx(1 + sinx)) + (cosx(cosx))/(cosx(1 + sinx))#

Moltiplicare:

#=(sinx + sin^2x + cos^2x)/(cosx(1 + sinx))#

Applicazione dell'identità pitagorica #cos^2x + sin^2x = 1#:

#=(sinx + 1)/(cosx(1 + sinx))#

Annullamento di #sinx + 1# poiché appare sia nel numeratore che nel denominatore.

#=cancel(sinx + 1)/(cosx(cancel(sinx + 1))#

#=1/cosx#

Applicazione dell'identità reciproca #1/costheta = sectheta#

#=secx#

Infine, in un'ultima nota, so che qui in Canada, in particolare nella Columbia Britannica, queste identità sono riportate su un foglio delle formule, ma non so come sia altrove. In ogni caso, molti studenti, me compreso, memorizzano queste identità perché sono così importanti per la matematica. Consiglio vivamente la memorizzazione.

Esercitazioni pratiche:

Semplifica le seguenti espressioni:

a) #cosalpha + tan alphasinalpha#

b) #cscx/sinx - cotx/tanx#

c) #sin^4theta - cos^4theta#

d) #(tan beta + cot beta)/csc^2beta#

Speriamo che questo aiuti e buona fortuna!