Come viene derivata l'equazione di collisione elastica?

In tutte le interazioni collisionali lo slancio rimane conservato. Le collisioni sono chiamate collisioni elastiche se, oltre alla conservazione della quantità di moto, cinetica energia anche rimanere conservati. Per derivare le equazioni elastiche di collisione utilizziamo il Momentum Conservation condizione e Risparmio di energia cinetica condizione.

#m_1# - Massa dell'oggetto 1; #qquad# #m_2# - Massa dell'oggetto 2;
#v_{1i}# - velocità dell'oggetto 1 prima della collisione;
#v_{2i}# - velocità dell'oggetto 2 prima della collisione;
#v_{1f}# - velocità dell'oggetto 1 dopo la collisione;
#v_{2f}# - velocità dell'oggetto 2 dopo la collisione;

Momentum Conservation:
#m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}#

Riorganizza questo portando tutti i term con #m_1# da un lato e termini con #m_2# Dall'altro lato,
#m_1(v_{1i}-v_{1f})=m_2(v_{2f}-v_{2i})# ............... ( 1 )

#frac{m_1(v_{1i}-v_{1f})}{m_2(v_{2f}-v_{2i})} = 1# ........... ( 2 )

Risparmio di energia cinetica:
#1/2 m_1v_{1i}^2+1/2m_2v_{2i}^2=1/2 m_1 v_{1f}^2+1/2m_2v_{2f}^2#

Riorganizza questo portando tutti i term con #m_1# da un lato e termini con #m_2# dall'altro lato e cancellare il fattore comune di "1/2",

#m_1(v_{1i}^2-v_{1f}^2)=m_2(v_{2f}^2-v_{2i}^2)#
#m_1(v_{1i}-v_{1f})(v_{1i}+v_{1f}) = m_2(v_{2f}-v_{2i})(v_{2f}+v_{2i})#
#frac{m_1(v_{1i}-v_{1f})}{m_2(v_{2f}-v_{2i})}.(v_{1i}+v_{1f}) = (v_{2f}+v_{2i})#,

Riconosci che il primo termine sull'LHS è solo "1" [Equazione ( 2 )]
#v_{1i}+v_{1f} = v_{2i}+v_{2f}# ..................... ( 3a )

#v_{2f} = v_{1i}+v_{1f}-v_{2i}# .................... ( 3b )

Equazione sostitutiva ( 3b ) nell'equazione ( 1 ) eliminare #v_{2f}#

#m_1(v_{1i}-v_{1f}) = m_2((v_{1i}+v_{1f}-v_{2i})-v_{2i})#

Riorganizzare questo e risolvere per #v_{1f}#:

#v_{1f} = (frac{m_1-m_2}{m_1+m_2})v_{1i}+(frac{2m_2}{m_1+m_2})v_{2i}# ......... ( 4 )

Equazione sostitutiva ( 4 ) nell'equazione ( 3b ) e riorganizzare i termini per ottenere #v_{2f}# as

#v_{2f} = (frac{2m_1}{m_1+m_2}) v_{1i} + (frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}) v_{2i}# ......... ( 5 )