Cos'è un gruppo abeliano, dal punto di vista dell'algebra lineare / astratta?

A gruppo # < G , •> # è un set #G# insieme a un'operazione binaria #•:GxxG->G# che soddisfano le seguenti condizioni:

1. #G# is chiuso per #•#.
   Per ogni #a,binG#, noi abbiamo #a•b in G#

2. #•# is associativo.
   Per ogni #a,b,cinG#, noi abbiamo #(a•b) • (c) = a •(b•c)#

3. #G# contiene un elemento di identità
   Lì esiste #einG# tale che per tutti #ainG#, #a•e=e•a=a#

4. Ogni elemento di #G# ha un inverso in #G#
   Per tutti #ainG# lì esiste #a^(-1)inG# così #a•a^(-1)=a^(-1)•a=e#

Si dice che sia un gruppo abelian se ha anche la proprietà che #•# è commutativo, cioè per tutti #a,binG#, noi abbiamo #a•b = b•a#.

Il gruppo #< ZZ, +># (i numeri interi con aggiunta standard) è un gruppo abeliano, in quanto soddisfa tutte e cinque le condizioni di cui sopra.

Il gruppo #GL_2(RR)# (il set di invertibile #2"x"2# matrici con elementi reali insieme a moltiplicazione di matrici) non è abeliana, poiché mentre soddisfa le prime quattro condizioni, la moltiplicazione di matrici tra matrici invertibili non è necessariamente commutativa. Per esempio:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

ma

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#