Esiste un numero "a" tale che esiste l'equazione seguente? In tal caso qual è il valore di "a" e il suo limite.

`x^2+x-2 = (x+2)(x-1)`

Quindi il denominatore contiene esattamente un fattore `(x+2)`

Quindi per quello `(3x^2+ax+a+3)/(x^2+x-2)` ha un limite come `x->-2`, l'unico requisito è che:

`3x^2+ax+(a+3)" "` is divisible by `(x+2)`

lasciare `f(x) = 3x^2+ax+(a+3)`

Questo è divisibile per `(x+2)` se e solo se `f(-2) = 0`

sostituendo `x=-2` si ha:

`f(-2) = 3(color(blue)(-2))^2+a(color(blue)(-2))+a+3`

`color(white)(f(-2)) = 12-2a+a+3`

`color(white)(f(-2)) = 15 - a`

Quindi abbiamo bisogno `a=15`

Con questo valore di `a`:

`f(x) = 3x^2+15x+18 = 3(x^2+5x+6) = 3(x+2)(x+3)`

`(3x^2+15x+18)/(x^2+x-2) = (3(color(red)(cancel(color(black)(x+2))))(x+3))/((color(red)(cancel(color(black)(x+2))))(x-1)) = (3(x+3))/(x-1)`

Così:

`lim_(x->-2) (3x^2+15x+18)/(x^2+x-2) = lim_(x->-2) (3(x+3))/(x-1) = (3(color(blue)(-2)+3))/(color(blue)(-2)-1) = 3/(-3) = -1`