Autovettori e Autovalori
Autovettori e autovalori sono definiti e usati in matematica e fisica nell’ambito di spazi vettoriali più complessi e astratti di quello tridimensionale della fisica classica. Questi spazi possono avere dimensione maggiore di 3 o addirittura infinita (un esempio è dato dallo spazio di Hilbert).
Matrici Simmetriche
Abbiamo enunciato che per una qualsiasi matrice, autovettori associati ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti; per una qualsiasi matrice simmetrica si ha qualcosa di piu’: Se u e v sono autovettori di A con autovalori associati A e µ distinti, allora u e v sono ortogonali.
Esempio
L’endomorfismo identità I : V → V è diagonalizzabile, poiché ha matrice associata data, appunto, dalla matrice identità (rispetto a una qualunque base). Gli autovalori sono tutti uguali a 1.
Omomorfismo Suriettivo
L’omomorfismo f : G → G è suriettivo se e solo se im f = G. C’è una condizione analoga per vedere se un omomorfismo è iniettivo.
Moltiplicità Algebrica dell’Autovalore
I due autovalori hanno molteplicità algebrica differente. L’autovalore λ0 ha molteplicità pari a due perché annulla il polinomio caratteristico in due casi: (1-λ) e (λ-1). L’autovalore λ1 ha molteplicità pari a uno perché annulla il polinomio caratteristico in un solo caso: (λ+1).
Molteplicità della Radice
Si dice molteplicità di una radice a di un polinomio p(x) il massimo intero positivo m tale che p(x) è divisibile per (x − a)m. Similmente, si dice molteplicità di una soluzione a di un’equazione algebrica della forma p(x) = 0 la sua molteplicità come radice del polinomio p(x).
Determinante Nullo
Una matrice è detta singolare se ha determinante nullo. Una matrice singolare non è mai invertibile, e se è definita su un campo vale anche l’inverso: una matrice non singolare è sempre invertibile.