Matrici e Autovalori
Una matrice quadrata A si dice ortogonalmente diagonalizzabile se esiste una matrice ortogonale P tale che P−1AP = PT AP = D, dove D e una matrice diagonale. Quando 0 è un autovalore? Gli autovalori sono tutti uguali a zero. Esempio: L'endomorfismo identita I : V → V e diagonalizzabile, poiché ha matrice asso- ciata data, appunto, dalla matrice identita (rispetto a una qualunque base). Gli autovalori sono tutti uguali a 1.
Determinante e Matrici Singolari
Tenendo presente questo, cosa succede se il determinante è uguale a zero?
Una matrice ha determinante uguale a zero se e solo se:
- ha una riga (o una colonna) formata da soli zeri;
- oppure ha due righe (o due colonne) proporzionali, cioè, se considerate come vettori, linearmente dipendenti tra di loro;
- oppure ha una riga (o una colonna) che è combinazione lineare di altre due o più righe.
Proprietà delle Matrici
Quando il metodo delle potenze non converge? Quindi il metodo delle potenze non converge nel caso in cui la matrice A presenti un autovalore massimo complesso e coniugato.
Quando una matrice simmetrica è definita positiva? . Una matrice definita positiva può avere un gran numero di radici quadrate, ma una e una sola radice quadrata definita positiva. è il rango della matrice. Per il criterio di Sylvester, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se i suoi minori principali di guida sono tutti positivi.
Quando una matrice è singolare? Singolare (matrice) Una matrice singolare è una matrice quadrata con determinante uguale a zero, oppure, analogamente, una matrice quadrata il cui rango non è massimo. In particolare, nessuna matrice singolare è invertibile.
Anche la domanda è:, quando una matrice è triangolare superiore? Una matrice triangolare è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi sopra o sotto la diagonale principale sono nulli; in particolare, se sono nulli gli elementi sopra la diagonale la matrice è detta triangolare inferiore, se sono nulli quelli sotto la diagonale si ha una matrice triangolare superiore.
Che tipo di matrice dei coefficienti otteniamo alla fine dei passi del metodo di Gauss? Il metodo di eliminazione di Gauss, che permette di trasformare una matrice A in una matrice A G A_G AG che ha lo stesso rango e che ha una forma “a gradini", può essere utilizzato per risolvere facilmente un sistema lineare che, grazie al teorema di Rouché-Capelli, si è visto ammettere soluzione.