Qual è la differenza tra modello AR, modello ARMA e modello ARIMA?

Tutti questi sono astrazioni di modellazione per i dati di una serie temporale - sono tutti modelli descrittivi univariati (e non modelli esplicativi di regressori esplicativi multipli). Un modello di processo AR (autoregressivo) descrive una serie temporale in termini dei suoi propri ritardi e il più semplice dei modelli di processo AR può essere scritto come

dove una serie è modellata come un proprio ritardo ponderato e un termine di shock casuale noto anche come innovazione. L'utilità di tale specificazione è che la serie può essere prevista in base al suo passato e la persistenza nella serie può essere modellata come un processo AR è sempre correlata. Un processo di media mobile (MA) è quello in cui una serie temporale è modellata come la somma ponderata di shock casuali (innovazioni). Poiché ognuna di queste innovazioni è distribuita in modo indipendente e con media zero, varianza costante indipendente dal tempo, il processo è stazionario. Molto semplicisticamente, il processo stazionario ha media costante e varianza indipendente dal tempo. Qualsiasi processo MA (essendo sommatoria ponderata di innovazioni - ciascuna di media zero) è un processo stazionario. Pertanto, MA è uno dei modi di modellare una serie temporale che è stazionaria con media costante non nulla come:

In generale, la combinazione di processi AR e MA può essere utile per modellare una serie temporale che è stazionaria. La combinazione di AR e MA permette di modellare la persistenza del fenomeno così come la persistenza degli shock nel tempo, ad esempio il PIL trimestrale di un paese dipende dal suo valore dell'ultimo trimestre o anche di quattro trimestri prima, a causa della continuità delle attività economiche sottostanti e della ciclicità e qualsiasi shock al PIL come lo squilibrio commerciale a causa della svalutazione della valuta nei confronti del paniere di valute, (o la demonetizzazione fatta in India) persiste nel tempo. Nel contesto delle vendite al dettaglio, all'interno dello stesso anno, vendite più basse nei giorni feriali seguono vendite più alte nel fine settimana (dipendenza dal passato) e lo shock alle vendite dovuto alla stagione del Ringraziamento può persistere fino al mese di dicembre. Lo shock (innovazione) è un termine economico che modella l'aberrazione da un fenomeno stabile anche se può essere attribuibile a qualche modello coerente (qui il Ringraziamento non rimane più uno shock casuale se l'evento del Ringraziamento è incorporato come variabile esplicativa). La stazionarietà del processo ARMA dipende dalla stazionarietà del processo AR in quanto il processo MA è stazionario. La presenza di una radice unitaria per le equazioni caratteristiche del sistema rende il sistema non stazionario.

Una serie temporale è chiamata integrata di ordine d se ha d radici unitarie. Consideriamo un esempio di random walk che è scritto come:

Random walk ha una radice unitaria per l'equazione delle caratteristiche scritta sopra e quindi è un processo integrato di ordine 1. Prendendo la differenza del primo ordine, cioè, si rende la serie differenziata stazionaria (poiché il termine di innovazione sulla destra ha media 0 e varianza costante). Le serie temporali economiche della vita reale che hanno una media o un trend non nullo sono processi integrati e quindi non stazionari. La stazionarietà si ottiene utilizzando il differenziamento. Inoltre, più generalmente, le serie temporali di dati economici della vita reale possono essere modellate come serie ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) dove l'integrazione permette di modellare la non stazionarietà. Le componenti ARMA modellano l'effetto del passato e la persistenza degli shock.

PS: Noi di Impact Analytics cerchiamo sempre di rispondere a qualsiasi domanda nel miglior modo possibile dal nostro punto di vista. Comprendiamo anche che una singola domanda può avere più risposte considerando diversi livelli di dettaglio. Infatti, riconosciamo che ci possono essere diverse sfumature per rispondere a questa domanda e che non stiamo in alcun modo propagando un insieme definito di risposte.