Cos'è la coordinata generalizzata con un esempio?

Il concetto di coordinate generalizzate e la sua utilità appare quando si studia la meccanica di un sistema vincolato

se ci sono N particelle in un sistema e ci sono k vincoli allora ci sono un netto 3N-k = f gradi di libertà rimanenti

avrai bisogno solo di 1 coordinata per descrivere ognuno di questi gradi di libertà

quindi, invece di dover risolvere 3N coordinate - che non saranno tutte indipendenti (a causa dei vincoli) - è necessario risolvere il problema solo per le f coordinate indipendenti

la solita equazione del moto della Seconda Legge non può essere applicata

le f coordinate indipendenti la cui identità non è ancora completamente nota sono chiamate 'coordinate generalizzate'

data la notazione qi

l'equazione del moto della Seconda Legge è riformulata in modo da dover risolvere solo f equazioni simultanee indipendenti, chiamate equazioni del moto di Lagrange

l'identificazione fisica di queste 'coordinate' viene fatta a seconda del problema reale

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prendiamo l'esempio più semplice di una 'particella libera'

come dice il nome, la Prima Legge ci dice che si muoverà in linea retta

si nota che è un esempio di moto vincolato

una particella avrebbe generalmente bisogno di tre coordinate indipendenti x,y,z

se il moto fosse confinato in un piano - 1 vincolo - ci sarebbero rimasti due gradi di libertà netti

ma, anche all'interno del piano, è limitato a muoversi lungo una linea retta - un altro vincolo

totale di 2 vincoli

quindi rimane solo 1 grado di libertà - è libero di viaggiare lungo la linea retta

Io imposto la mia origine e scelgo il mio asse x lungo questa direzione di movimento

questa è la mia unica coordinata generalizzata per il presente problema - la coordinata x

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i am not going into setting up and solving the Lagrange”s equation of motion