Il numero m=999...9 consiste di 999 nove. Qual è la somma delle cifre di m^2?

Beh, 999...9 (999 nove) è un'espressione piuttosto ingombrante. Mettiamola in una forma più ragionevole: [math]10^{999}-1[/math].

Questo ha l'ulteriore vantaggio di essere molto più facile da elevare al quadrato.

Se lo facciamo, otteniamo [math](10^{999}-1)^2=10^{1998}-2 volte 10^{999}+1[/math].

Come possiamo gestire un tale numero?

Bene, possiamo considerare solo i primi 2 termini: [math]10^{1998}-2\times 10^{999}=10^{999}(10^{999}-2)[/math]. Non è difficile vedere che questo numero (meno gli zeri finali) è 999...998, con (999 cifre, il che significa che 998 di esse sono nove).

Con gli zeri finali, diventa 999...998000...000 con 999 zeri. Se includiamo l'ultimo, diventa 999...998000...001.

Conteggio delle cifre: 998 nove, un otto, e un uno, per una somma totale di [math]998 ¤ 9 + 8 + 1 = 8991[/math].

In alternativa, si potrebbe provare con valori più piccoli e trovare un modello.

Con 1 nove, si ottiene [math]9^2=81[/math], le cui cifre sommano a 9. Con 2 nove, si ottiene 9801, con una somma di cifre di 18. Con 3 nove, si ottiene 998001, con una somma di 27, e con 4, si ottiene 99980001, con una somma di 36. Notate qualche schema qui?