Qual è lo scopo di un cambio di base?

Cambiare la base è in realtà cambiare il sistema di coordinate in cui si sta lavorando. Spesso, quando si lavora su un problema di fisica, la giusta scelta del sistema di coordinate è cruciale, e spesso può semplificare molto le cose. Per esempio, un problema classico nelle lezioni introduttive di fisica è un blocco che scivola lungo un piano. Agli studenti viene solitamente chiesto di determinare la velocità del blocco in basso, o la sua distanza lungo il pendio in funzione del tempo. In ogni caso, parte della soluzione è cambiare sistema di coordinate, cioè cambiare base. Nei problemi 2D, di solito consideriamo il comportamento di un oggetto nella direzione orizzontale (corrispondente al [math]\hat{x}[/math]vettore base) e nella direzione verticale (corrispondente al [math]\hat{y}[/math]vettore base. Tuttavia, per il problema del piano inclinato, entrambe queste quantità cambiano contemporaneamente, rendendo difficile tenerne traccia. Quindi, è conveniente ruotare l'intero sistema di coordinate in modo che il [math]hat{x} [/math] punti verso il basso lungo il pendio e il [math]\hat{y} [/math] punti normali ad esso. Sappiamo che, con questi nuovi vettori di base, poiché il blocco scivola lungo il pendio, dobbiamo preoccuparci solo del movimento nella direzione [math]\hat{x}[/math], rendendo il problema più semplice. Naturalmente, dobbiamo esprimere la gravità in termini di questa nuova base, ma non è così difficile. Un altro esempio più complesso dalla fisica è quello del movimento del corpo rigido. Consideriamo un oggetto 3D che ruota attorno ad un punto dell'oggetto (di solito è il centro di massa). Questa rotazione può essere rappresentata come un vettore di velocità angolare [math]\vec{\omega},[/math]la cui grandezza è il tasso di rotazione in radianti al secondo e la direzione punta lungo l'asse di rotazione. Siamo quindi interessati alla relazione tra questa velocità angolare e il vettore momento angolare [math]\vec{L}.[/math] Come si è scoperto, i due sono legati dall'equazione [math]\vec{L}=I\vec{\omega},[/math] dove [math]I[/math] è una matrice 3 per 3 chiamata tensore di inerzia. Alcuni che hanno avuto una lezione di fisica introduttiva riconosceranno questo come l'analogo 3D della formula [math]L=I\omega[/math] per la rotazione in 2D. Ora, come si è scoperto. [math]I[/math] è una matrice simmetrica, il che significa che è diagonalizzabile. Ciò significa che, fondamentalmente, possiamo trovare numeri reali [math]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3[/math], non necessariamente distinti, e una base ortonormale [math]\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3. [/math] (chiamati gli assi principali del corpo) tali che [math]I\vec{e}_i=\lambda_i\vec{e}_i.[/math] Questa è una grande notizia! Questo significa che, se scriviamo [math]\vec{omega}=\omega_1\vec{e}_1+\omega_2\vec{e}_2+\omega_3\vec{e}_3[/math]in termini di questa nuova base, allora, per la proprietà distributiva della moltiplicazione delle matrici, abbiamo semplicemente [math]\vec{L}==lambda_1\omega_1\vec{e}_1+lambda_2\omega_2\vec{e}_2+lambda_3\omega_3\vec{e}_3[/math], che è molto più semplice della nostra espressione originale. Da questo, vediamo che la giusta scelta della base può fare una grande differenza nella complessità relativa di un problema, e quindi sapere come cambiare tra le basi è essenziale.