Il prodotto dei numeri primi più 1 è sempre primo?

No, 5*3 è 15, e 15+1 è 16, che non è primo. Ma l'idea è che il prodotto di TUTTI i primi da 2 a N, quando poi si aggiunge 1, produce un primo. Ma anche questa non è esattamente la prova di Euclide. (Supponiamo che P sia il prodotto di TUTTI i primi.

Come è stato sottolineato, la prova di Euclide non è che P + 1 sia necessariamente primo (lo è), ma che il numero dei primi non può essere finito. Analizziamo il tutto. Consideriamo, per P prodotto di tutti i primi:

M = P + 1

M non può essere diviso da nessun numero N, N > 2, in cui N si divide anche in P. Perché questo significherebbe:

m * N = p * N + 1

(m * N) - (p * N) = 1

(m - p) * N = 1

m - p = 1/N

Abbiamo raggiunto una contraddizione, perché m e p sono entrambi interi, producendo un risultato intero. Ma per N > 1, l'espressione 1/N non produce un intero ma una frazione.

Pertanto, se P può essere diviso uniformemente da un N > 1, allora P + 1 non può essere diviso uniformemente da N. Questa è la chiave.

E la conseguenza è che se P può essere diviso da tutti i fattori primi 2, 3, ... n, allora P+1 non può essere diviso da nessuno di quegli stessi fattori. Pertanto, ci deve essere un altro numero primo che non abbiamo ancora considerato... o lo stesso P+1 o qualche altro numero. Il che prova per contraddizione che il numero dei primi non può essere finito.

L'ultimo passo viene solitamente sorvolato. Perché il passo finale è chiedere se P+1 è primo.

Se lo è, allora abbiamo trovato un nuovo primo.

Se non lo è, allora P + 1 deve essere divisibile per qualche primo. Ma non può essere nessuno dei primi che si dividono in P (per ipotesi nel nostro ragionamento). Quindi, abbiamo trovato un nuovo primo.

In entrambi i casi, si produce una contraddizione dall'assunzione originale che ci fosse un numero finito di primi.