A e B sono due vettori e theta è l'angolo tra loro. Se |A×B|= underoot 3 di (A.B), qual è il valore di theta?

Grazie alla risposta di Anil de Silva'sono stato in grado di decifrare il post originale della domanda e suggerire modifiche ad esso. Speriamo di aver interpretato correttamente la domanda dell'OP. Sto postando questa risposta solo per affermare più chiaramente ciò che Anil de Silva ha già trovato.

EDIT. Da quando ho postato questa risposta, vedo che la domanda è stata riportata alla sua forma originale dal sempre presente Content Review bot di Quora. Anil de Silva ed io abbiamo interpretato la domanda come una richiesta di trovare l'angolo [math]\theta[/math] tra due vettori [math]\mathbf{A}[/math] e [math]\mathbf{B}[/math] per cui [math]|mathbf{A}times \mathbf{B}| = \sqrt[3]{mathbf{A}\cdot \mathbf{B}}.[/math] La soluzione di questo problema segue.

L'angolo tra questi due vettori è uguale all'angolo tra due vettori unitari [math]\hat{mathbf{a}} = \mathbf{A}/|mathbf{A}|[/math] e [math]\hat{mathbf{b}} = \mathbf{B}/|mathbf{B}|[/math] nelle loro rispettive direzioni, quindi consideriamo invece [math]{mathat{mathbf{a}} †mathhat{mathbf{b}| = \sqrt[3]{mathat{mathbf{a}}}cdothat{mathbf{b}}}[/math]. Dal momento che [math]\mathbf{a}}}times \hat{mathbf{b}| = \sin{theta}[/math], e [math]\mathbf{a}}}cdot \hat{mathbf{b}} = \cos{\theta}[/math], questo è equivalente a [math]\sin{\theta} = \sqrt[3]{\cos{\theta}}[/math]. Al cubo entrambi i lati producono [math]\sin^3{\theta} = \cos{\theta}[/math], e squadrando questa espressione si ottiene

[math]\sin^6{\theta} = \cos^2{\theta} \equiv 1 - \sin^2{\theta},,[/math]

oppure

[math]\sin^6{\theta} + \sin^2{\theta} - 1 = 0\,.[/math]

Questa è un'equazione polinomiale cubica in [math]x = \sin^2{\theta}[/math] della forma

[math]x^3 + x - 1 = 0\,.[/math]

Ha una singola radice reale che è facilmente determinata graficamente usando, diciamo, una calcolatrice grafica o la utility online Desmos. Trovo [math]x = \sin^2{theta} \approssimativamente 0.682328[/math], quindi

[math]\theta \approssimativamente \sin^{-1}\sinistra(\sqrt{0.682328}destra) = 55.69^\circa,.[/math]

Anil de Silva ha usato soluzioni algebriche note dell'equazione cubica in termini di radicali per trovare la stessa risposta.