Come determinare se una linea è parallela a un piano? Quali sono alcuni esempi

Se una linea è parallela a un piano, sarà perpendicolare al vettore normale del piano (proprio come qualsiasi altra linea contenuta nel piano, o parallela al piano).

(Nota che sto usando "perpendicolare" qui, non nel senso che si intersecano, necessariamente, ma nel senso che i loro vettori sarebbero a 90 gradi se fossero messi uno accanto all'altro)

Per trovare se due vettori sono perpendicolari, basta prendere il loro prodotto punto. Se è uguale a 0, allora sono perpendicolari.

Quindi, per esempio, se abbiamo il piano: 2x + 3y - 4z = 7 (il vettore normale qui sarebbe <2,3,-4>)

E vogliamo scoprire se la linea: x=2+t, y=3-2t, z=5-t, è parallela ad esso, abbiamo solo bisogno del prodotto di punto del vettore della linea (<1, -2, -1>) e del vettore normale del piano.

<1, -2, -1> DOT <2, 3, -4> = 1*2 + -2*3 + -1*-4 = 2 - 6 + 4 = 0

Quindi in questo caso, la linea e il piano sono paralleli.

If we want to use the same plane, but compare it to the line: x=4+2t, y=3+6t, z=5+9t, then we will get:

<2, 6, 9> DOT <2, 3, -4> = 2*2 + 6*3 + 9*-4 = 4 + 18 - 36 = -14

So we can see these two will not be parallel.