Come trovare la potenza di I

Iniziamo a riscrivere [math]\mathrm{i}[/math] come [math]1\cdot\mathrm{i}[/math]. Questo ci permette di trattare [math]\mathrm{i}[/math] come una moltiplicazione: si parte da [math]1[/math], si moltiplica per [math]\mathrm{i}[/math] e si finisce con [math]\mathrm{i}[/math]. Se guardate dove [math]\mathrm{i}[/math] si trova sul piano dei numeri complessi, potete vedere che moltiplicare per [math]\mathrm{i}[/math] una volta è come ruotare intorno allo zero di un angolo retto, da un'unità a destra dello zero a un'unità sopra lo zero. Se si ripete questo, si ruota un altro angolo retto, da sopra lo zero a sinistra dello zero. Quindi [math]1\cdot\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}=-1[/math], o [math]\mathrm{i}^2=-1[/math]. Ripetete questo di nuovo, e otterrete [math]\mathrm{i}^3=-\mathrm{i}[/math], una unità sotto lo zero; poi [math]\mathrm{i}^4=1[/math], una unità a destra dello zero. Ulteriori aumenti iniziano un nuovo ciclo intorno allo zero, con [math]\mathrm{i}^5=\mathrm{i}^1[/math], [math]\mathrm{i}^6=\mathrm{I}^2[/math], e così via.

Si può generalizzare questa regola: [math]\mathrm{i}^n=\mathrm{i}^{n-4}[/math]. Questo significa anche che [math]\mathrm{i}^4=\mathrm{i}^0[/math], [math]\mathrm{i}^3=\mathrm{i}^{-1}[/math], [math]\mathrm{i}^2=\mathrm{i}^{-2}[/math], [math]\mathrm{i}^1=\mathrm{i}^-3}[/math], [math]\mathrm{i}^0=\mathrm{i}^-4}[/math], e così via. Cioè, potenze positive di [math]\mathrm{i}[/math] danno rotazioni in una direzione; potenze negative di [math]\mathrm{i}[/math] danno rotazioni nell'altra direzione; e la potenza di zero non causa alcuna rotazione: ovunque si inizi, si rimane lì.

Quindi questo ci permette di usare qualsiasi potenza intera. Anche le potenze non intere possono essere facilmente estrapolate da questo: per esempio, se [math]\mathrm{i}^1[/math] ti fa ruotare di un angolo retto intorno allo zero, allora [math]\mathrm{i}^{1/2}[/math] ti fa ruotare la metà di un angolo retto, o un angolo di 45°, spostandoti in un punto che è [math]\sqrt2/2[/math] unità a sinistra dello zero e [math]\sqrt2/2[/math] unità su dallo zero.

Questo ci permette anche di gestire le radici di [math]\mathrm{i}[/math]: [math]z^{1/2}=\sqrt z[/math], so [math]\sqrt{\mathrm{i}}=\mathrm{i}^{1/2}=\tfrac{\sqrt2}2+\tfrac{\sqrt2}2\mathrm{i}[/math]. La radice cubica di [math]\mathrm{i}[/math] è[math]\mathrm{i}^{1/3}[/math], un terzo di una reputazione ad angolo retto, o una rotazione di 30°. Se conosci la trigonometria, sai che quando ruoti di 30°, finisci a [math]\cos(30°)[/math] a destra e [math]\sin(30°)[/math] sopra, che risulta in [math]\tfrac{\sqrt3}2+\tfrac12\mathrm{i}[/math].

In generale, si può generalizzare questo a [math]\mathrm{i}^x=\cos(x\cdot90°)+\mathrm{i}sin(x\cdot90°)[/math], che funziona finché [math]x[/math] è un numero reale.