In media, quanti numeri dovresti estrarre perché qualcuno vinca un Bingo in cui è necessario riempire l'intera scheda?

Un chiarimento importante: Si tratta di UNA persona che gioca da sola o di un gruppo di n persone che competono per essere il primo a riempire la sua scheda?

Se la prima: La media è 72,96. (Questo è un esercizio in Probabilità e inferenza statistica di Hogg e Tanis). Dettagli sotto.

Se il secondo: La media sarà più piccola al crescere di n, ma è difficile calcolare come varia con n perché dipende da quanta sovrapposizione c'è tra carte separate. (In generale, il tempo che la persona A impiega per riempire la sua carta NON è indipendente da quanto tempo impiega B a riempire la sua carta.)

Per una persona: Sia N il numero di estrazioni fino a quando la carta è riempita. Ci sono 24 numeri sulla carta, e 75 numeri tra cui scegliere, quindi N sarà uguale a n se (1) abbiamo coperto 23 posti con i primi [math]n-1[/math] numeri, e (2) l'ennesima estrazione copre l'unico posto rimasto sulla nostra carta. Cioè:

[math]\begin{align*}f(n)=P(N=n)&=\dfrac{\binom{24}{23}\binom{51}{n-24}}{\binom{75}{n-1}}\cdot\dfrac{1}{76-n}\\&=\cdots=\dfrac{\binom{n-1}{23}}{\binom{75}{24}}\text{ for }n=24,25,\punti,75\end{align*}\tag*}[/math]

(Abbiamo saltato i dettagli della semplificazione di questa espressione.) Usando l'identità del bastone da hockey, possiamo confermare che la somma è 1.

Da questo possiamo calcolare il valore atteso come:

[math]\begin{align*}{sum_{n=24}^{75}n,f(n)&={sum_{n=24}^{75}{dfrac{n\cdot{binom{n-1}{23}{binom{75}{24}{dfrac{24} \sum_{n=24}^{75}\binom{n}{24}\\ &=\dfrac{24}{\binom{75}{24}} \cdot\binom{76}{25}=\frac{24\cdot 76} {

(sempre facendo uso dell'identità del bastone da hockey per valutare la somma).

Per più giocatori: Se ci sono n giocatori nel gioco, con carte assegnate casualmente, è più difficile trovare un valore esatto per il numero medio di estrazioni per trovare un vincitore, ma una simulazione Monte Carlo può dare un'idea di come questo diminuisca all'aumentare di n. In the table and graph below are the results of playing 100000 simulated games with n cards; the first row is there to confirm the result given above (and to confirm that the simulation was reliable).

1. n Mean SD Mean winners tie prob 
2. -- ------ ------ ------------ -------- 
3. 1 72.956 2.3968 1.0000 0.0000 
4. 2 71.759 2.6620 1.1927 0.1927 
5. 3 70.963 2.7435 1.2247 0.1760 
6. 4 70.374 2.7702 1.2327 0.1777 
7. 5 69.881 2.8025 1.2326 0.1779 
8. 6 69.490 2.8107 1.2345 0.1798 
9. 7 69.147 2.8184 1.2375 0.1819 
10. 8 68.865 2.8219 1.2377 0.1815 
11. 9 68.611 2.8133 1.2418 0.1848 
12. 10 68.377 2.8276 1.2403 0.1837 
13. 11 68.190 2.8133 1.2444 0.1856 
14. 12 67.981 2.8025 1.2439 0.1855 
15. 13 67.815 2.8002 1.2483 0.1886 
16. 14 67.651 2.7913 1.2519 0.1910 
17. 15 67.502 2.7883 1.2468 0.1871 
18. 18 67.097 2.7834 1.2503 0.1891 

As we can see from the table and the graph, there is (as we might expect) a “diminishing returns” effect: Più carte riducono la lunghezza media del gioco, ma sempre più lentamente.

In un commento a questa risposta, l'OP ha detto che sta specificamente chiedendo qualcosa intorno alle 75 carte (25 giocatori con 3 carte ciascuno), notando che non c'era un vincitore dopo 36 estrazioni. Simulando 50000 partite con un gruppo di quelle dimensioni si ottiene una media di circa 64 estrazioni, con una deviazione standard di circa 2,7. Tra le 50000 partite simulate:

• la più breve è stata di 45 estrazioni (1 volta).
• 50 o meno estrazioni: 19 volte (0,038%)
• 55 o meno estrazioni: 355 times (0.71%)
• 60 or fewer draws: 5011 times (10.022%)
• 20% ended in ties (i.e., two or more cards were filled)

On average, how many numbers would you have to draw for someone to win a Bingo where you need to fill the entire card?