Qual è la probabilità di vincere un full nel bingo con [math]75[/math] palline?

Qual è la probabilità di vincere un full nel bingo con 75 palline?

Un full significa una cartella del bingo completamente coperta. Non mi è chiaro se intendi

• ottenere un full ad un certo punto in una partita di bingo (standard) con 75 palline, o
• coprire completamente la cartella alla 75esima (ultima) estrazione.

Se rispondiamo alla prima domanda, avremo una risposta alla seconda domanda.

Ogni cartella da bingo ha 24 numeri (più uno spazio libero) che sono necessari per coprire la cartella. Sia N il numero di palline che devono essere estratte per coprire quella scheda. Se

• A è l'evento "23 numeri della carta appaiono tra le prime [math]k-1[/math] palline estratte"
• B è l'evento "la kesima pallina è uno dei numeri della carta"

allora

• [math]P(N=k) = P(A)\cdot P(B\,|\,A)=\dfrac{\binom{24}{23}\binom{51}{k-1-23}}{\binom{75}{k-1}}\cdot \dfrac{1}{75-(k-1)}[/math] for [math]k=24,25,\dots,75[/math]

That’s the general answer. In particular,

• [math]P(N=75)=\dfrac{\binom{24}{23}\binom{51}{51}}{\binom{75}{74}}\cdot \dfrac{1}{75-74}=\dfrac{24}{75}=0.32[/math].