Cos'è la convoluzione del segnale?

Oh Dio, ho aspettato di rispondere a questa domanda per così tanto tempo :D..........(risata malvagia)

Quindi ecco che va........immaginate questo.....:

Avete un sistema che quando gli viene dato un singolo ingresso 1 emette un segnale strano (fondamentalmente non vi importa cosa). Questo sarebbe qualcosa come questo:

questo input sarà:

e il sistema produce qualcosa come questo: (chiama questo Eve)

Ora la convoluzione è fatta principalmente per scenari in cui si assumono sistemi lineari o miscele lineari di segnali (dipende solo dalla situazione).

Mediante una breve comprensione della linearità, fondamentalmente questo:

se l'input A produce un output X. e l'input B produce un output Y, allora:

A=>X,

B=>Y,

2A=>2X,

2B=>2Y,

2A + 3B => 2X + 3Y.

È tutto qui. (Sto omettendo l'assioma di moltiplicazione zero per semplicità).

Ad ogni modo, ora che siete armati della comprensione della linearità, torniamo al nostro sistema di esempio.

immaginate ora che io dia a questo sistema un input come questo: (chiama questo Adam)

In questo caso ci sono due picchi di 1. in altre parole, al tempo 0, il sistema ha ricevuto un input di 1 e al tempo 1 il sistema ha ricevuto anche un input di 1. Dopo di che, a tutti gli effetti, esistono degli zeri in input.

immagina che il primo picco sia A (dalla nostra breve storia della linearità :D) e che il picco 2 sia B.

Se il picco A fosse fornito al nostro sistema indipendentemente, l'uscita del sistema è:

e quando il picco B è dato al nostro sistema indipendentemente l'uscita del sistema è:

Si noti anche il ritardo dovuto al ritardo negli ingressi.

Sommiamo questi due risultati e vediamo che bellezza si verifica...........

(BTW siamo in grado di fare questo perché il sistema è lineare)

1. dopo che il primo ingresso A viene iniettato nel sistema, l'uscita del sistema all'intervallo di tempo 1 è 0,5. l'ingresso B non ha ancora influito sull'uscita (fare riferimento ai grafici precedenti).
2. All'intervallo di tempo 2, l'uscita del primo impulso A esiste ancora (0,25) e fondamentalmente si sommerà con la nuova uscita dell'impulso B che è 0,5. l'uscita risultante all'indice temporale 2 sarà: 0..25+0.5 = 0.75.
3. Ora all'indice temporale 3 l'uscita dell'impulso A è sparita, ma l'uscita dell'impulso B c'è ed è 0.25.

l'uscita totale sarà la seguente:

Lo ed ecco! questo è lo stesso risultato che si ottiene quando si convolve Adamo ed Eva :D

Questa è l'essenza della convoluzione. Spero che sia stato soddisfacente.

(P.S. la convoluzione è fatta principalmente per i sistemi LTI (Linear Transform (Time) Invariant). che fondamentalmente significa che la risposta all'impulso del sistema non cambia nel tempo. Ci sono modi in cui si può effettivamente trovare l'uscita di un sistema Linear Transform Variant, ma la convoluzione non funzionerebbe per questo)