Quali sono gli enigmi di probabilità più interessanti o popolari in cui l'intuizione è contraria alla soluzione?

Come confondere le menti curiose

Il mio schema è migliore del tuo

1. Lancia una moneta giusta due volte. Qual è la probabilità di ottenere due teste (HH)? Qual è la probabilità di ottenere testa seguita da croce (HT)? Queste probabilità sono uguali?

(Sì, certo che lo sono. Nessuna confusione ancora.)

2. Lancia ripetutamente una moneta giusta finché non ottieni due teste di fila (HH). In media, quanti lanci si dovrebbero fare? E se lanciassimo fino ad ottenere testa seguita da croce (HT)? Le risposte sono le stesse?

(Sulla base del problema precedente, la maggior parte delle persone assume che la risposta sia Sì, ma la risposta è No.)

3. Facciamo un gioco: lanciamo una moneta ripetutamente finché non esce HH (vinco io) o HT (vinci tu). Il gioco è equo?

(Sulla base del problema precedente, la maggior parte delle persone assume che la risposta sia No, ma la risposta è Sì.)

4. Giochiamo al gioco Let's-flip-a-coin-until-a-pattern-emerges. Tu scegli HHT come modello, io scelgo THH. Lanciamo ripetutamente una moneta giusta finché non otteniamo testa-testa-coda di fila (tu vinci) o croce-testa-testa di fila (io vinco). Il gioco è equo?

(Sulla base della simmetria, la maggior parte della gente assume che la risposta è Sì, ma la risposta è No. Io sto vincendo il 75% delle partite).

5. Visto che THH è uno schema migliore, chiedete di sceglierlo come schema. Io sono gentilmente d'accordo e passo a TTH. Continuo a batterti per la maggior parte del tempo. Tu passi al mio TTH. Io passo a HTT. Continuo a batterti. Tu passi a HTT. Io passo a... HHT, il tuo schema originale di perdita. Chi sta vincendo ora?

(La maggior parte della gente si aspetta ormai dei problemi, e indovina correttamente anche se pensa che sia impossibile. Infatti, HHT è meglio di HTT, che è meglio di TTH, che è meglio di THH, che è meglio di HHT.)

Questo delizioso risultato è noto come il gioco di Penney (Non sbirciare! È divertente risolvere da soli). L'ho usato molte volte nei circoli di matematica, comprese vere e proprie sessioni di lancio fisico della moneta. È divertente.

La ragazza del martedì

Molte persone hanno familiarità con la vecchia castagna: scegli una famiglia a caso uniformemente tra tutte le famiglie con esattamente 2 figli di cui uno (almeno) è una ragazza. Qual è la probabilità che la famiglia scelta abbia 2 ragazze? Sotto la solita assunzione di uniformità di genere alla nascita, la risposta è 1/3, non 1/2 come molti suppongono inizialmente. Questo è abbastanza noto, ma è comunque un utile riscaldamento.

Alziamo la posta: cosa succede se scegliamo una famiglia a caso tra tutte le famiglie con esattamente 2 bambini, di cui almeno una ragazza nata di martedì?

(La maggior parte delle persone assume che il giorno della settimana in cui è avvenuta la nascita non faccia differenza. Si sbagliano. La probabilità di 2 ragazze in questo nuovo scenario è ora molto più vicina a 1/2 che all'originale 1/3. È un esercizio utile per spiegare, intuitivamente, perché è così).

È meglio dichiarare esplicitamente che i gemelli sono da ignorare qui. È anche meglio formulare la domanda precisamente come campionamento da uno spazio campione ben definito, piuttosto che le solite storie piene di trabocchetti del tipo "incontri uno sconosciuto e ti dice che ha due figli e almeno uno è una ragazza nata di martedì".

Questo divertente problema ha fatto il giro nel 2010 circa, apparentemente iniziando con un discorso di Gary Foshee ad un incontro di Gathering for Gardner. Quando l'intuizione e la matematica probabilmente sembrano sbagliate è uno dei tanti scritti. Di nuovo, non sbirciare - cerca di capire!

La prossima carta

Mischio un mazzo di carte e le distribuisco una per una, lentamente quanto vuoi. Voi osservate la sequenza delle carte e in qualsiasi punto di vostra scelta dite Stop. Poi distribuisco la prossima carta: se è nera, vinci. Se è rossa, perdete. Nessun jolly e nessun gioco di prestigio. Se non si dice Stop fino alla fine, l'ultima carta determina l'esito del gioco.

Qual è la tua strategia?

(Gli studenti si affrettano a suggerire molte strategie intelligenti, come contare i rossi e dire Stop non appena si vedono almeno 3 rossi più dei neri. Il fatto è che nessuna strategia fa alcuna differenza in questo gioco - tutte le strategie danno una probabilità di vincita esattamente del 50%, e c'è una semplice ragione per questo).