Cos'è la coppia?

Spero di affrontare questa domanda da un punto di vista più "fisico" che illustri il concetto di coppia. Speriamo che non sia troppo complicato - anche se presuppone che abbiate familiarità con il calcolo. Le lezioni di Feynman Vol I hanno anche una spiegazione molto bella di questo - insieme ad altre cose - da cui sto parafrasando.

Prima di parlare della coppia voglio introdurre brevemente l'idea di lavoro. Immaginiamo di avere un corpo libero e rigido a riposo - in modo che non abbia energia cinetica. Poi gli applichiamo una forza ed esso comincia a muoversi - aumentando così la sua energia cinetica. Potremmo chiederci se possiamo facilmente definire la relazione tra la forza applicata, [math]F[/math], e l'immediato aumento di energia cinetica, [math]\Delta[/math][math]E_{K}[/math]. Si scopre che è possibile. Prima vorrei definire il lavoro, [math]W[/math], come

[math]W = \int_{r_{1}}^{r_{2}} F(r) . dr[/math]

dove [math]dr[/math] è lo spostamento del nostro corpo sul quale la forza, [math]F(r)[/math], è applicata. Poi si scopre che (nel nostro caso):

[math]W = \Delta E_{K}[/math]

In sostanza, se sappiamo quanta forza abbiamo applicato e su quale spostamento l'abbiamo applicata, possiamo usare la suddetta definizione di lavoro per dirci quanta energia abbiamo trasferito al corpo. Così, quando un corpo a riposo viene spostato - sappiamo che è stato fatto del lavoro sul corpo per spostarlo. Sono sicuro che ci sono spiegazioni molto migliori del lavoro là fuori e vi incoraggio a trovarle se siete interessati.

Ora immaginate che io abbia un pendolo con il peso a riposo (e non ci sono campi di forza). Poi spingo il peso e lo faccio muovere - facendo così un lavoro su di esso. Dopo un po' di tempo, [math]dt[/math], il peso sarà stato spostato di un angolo [math]d\theta[/math]. Poiché il peso non sta più subendo uno spostamento lineare, sarebbe bello essere in grado di esprimere il lavoro fatto su di esso in termini di spostamento angolare - solo per renderlo più facile da lavorare. A tal fine possiamo scrivere qualcosa come:

[math]W = \int_{{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \tau d\theta[/math]

e la quantità [math]\tau[/math] è conosciuta come la coppia. Come si può vedere da questa definizione, la coppia è un analogo rotazionale della forza, ed è definita in modo tale da rendere più facile lavorare con la cinematica rotazionale. Più di questo però - se conosciamo lo spostamento angolare possiamo usare la coppia per dirci quanta energia abbiamo trasferito al peso.

Ora immagino che il mio pendolo abbia lunghezza [math]R[/math]. Mentre si muove attraverso un angolo infinitesimale [math]d\theta[/math] percorre una distanza totale [math]R d\theta[/math]. Se chiamiamo la forza tangenziale lungo questo spostamento [math]F_{tang}[/math] possiamo vedere (usando la nostra primissima definizione di lavoro) che

[math]dW = F_{tang} R d\theta[/math]

so that, in this case,

[math]\tau = F_{tang} R[/math].

With a bit of geometry you can show this leads to the result that

[math]\tau = FL[/math]

where [math]F[/math] is the total applied force and [math]L[/math] is the length of the lever arm (see Feynman Vol I).