Cosa significa n!?

L'espressione [math]n![/math] è definita per ogni numero naturale [math]n[/math], cioè [math]n[/math] un numero intero non negativo. Si pronuncia "[math]n[/math] factorial".

La definizione formale è per ricorsione

[math]0!=1,\qquadro (n+1)!=(n+1)\cdot n![/math]

Quindi [math]1!=1\cdot0!=1[/math], [math]2!=2\cdot1!=2[/math], [math]3!=3\cdot2!=6[/math] e così via.

Espandendo la definizione ricorsiva vediamo, per esempio, che

[math]7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040[/math]

Ovviamente, la definizione formale è venuta molto dopo il concetto, che ha a che fare con le permutazioni. C'è solo un modo per disporre zero elementi; lo stesso per un elemento. Per due elementi, diciamo [math]a[/math] e [math]b[/math], abbiamo due modi, cioè [math]ab[/math] e [math]ba[/math].

Come possiamo fare con tre elementi [math]a,b,c[/math]? Consideriamo le due permutazioni precedenti e immaginiamo di inserire dei segnaposto tra i due oggetti e anche in testa e in coda:

[math].a.b. \qquadro .b.a.[/math]

Poi il terzo elemento può essere messo in uno qualsiasi dei "posti liberi": portando a

[math]\begin{gather} abc\quad acb\quad cab \ bac \quad bca \quad cba\end{gather}[/math]

Abbiamo sei permutazioni, tre per una permutazione di due oggetti.

Se passiamo a quattro, possiamo fare lo stesso, quindi ci sono [math]4\times6=24[/math] permutazioni.

Vedete che ad ogni stadio moltiplichiamo il numero precedente di permutazioni per il numero di oggetti allo stadio.

Con zero oggetti abbiamo un segnaposto: [math]1!=1\cdot0![/math]; con un oggetto ci sono due segnaposto: [math]2!=2\cdot1![/math] e così via, il che giustifica la definizione ricorsiva all'inizio.

Più formalmente, una permutazione su un insieme finito [math]A[/math] è una mappa biiettiva [math]f\colon A\to A[/math]. The number of permutations on a set of [math]n[/math] elements is [math]n![/math]

You will find informal definitions such as

[math]n!=n(n-1)\dotsm 3\cdot2\cdot1[/math]

which is just the same as the above, albeit less rigorous.