Cos'è l'infinito più tre?

Questo ci porta nel regno dell'aritmetica transfinita. Ci sono due nozioni di "numero": Numero cardinale, che intuitivamente significa il numero di elementi in un insieme, e numero ordinale, che si riferisce a come gli elementi sono ordinati. La seconda nozione è più granulare, nel senso che due insiemi con numeri ordinali diversi possono avere lo stesso numero cardinale, ma non è vero il contrario.

Il più piccolo numero cardinale infinito, chiamato aleph-nought (la lettera ebraica aleph con pedice zero, vorrei sapere come si scrive su questa tastiera) è usato per indicare il numero dei numeri naturali. Cioè, aleph-nought è il numero di numeri nell'insieme { 1, 2, 3, ... }. La cosa sorprendente che Georg Cantor ha dimostrato è che ci sono molti numeri cardinali infiniti. Il numero dei numeri reali è indicato con c, e Cantor dimostrò che c > aleph-nought. Cosa significa "maggiore di"? Significa che si può definire una mappatura 1-1 dell'insieme più piccolo nell'insieme più grande, ma non viceversa. In un certo senso, non importa come si usa l'insieme più piccolo per enumerare o contare l'insieme più grande, non lo si esaurisce mai.

Quindi, una risposta alla tua domanda è: aleph-nought + 3 = aleph-nought. Per vedere questo, considera l'insieme { -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }. Puoi mappare questo 1-1 ai numeri naturali aggiungendo 3 ad ogni elemento. Ogni elemento in entrambi gli insiemi è considerato. E si può mappare nell'altro modo prendendo un numero naturale e sottraendo tre.

L'altra nozione, il numero ordinale, aggiunge ordine al mix. Immaginate di aver scritto tutti i numeri naturali in sequenza, 1, 2, 3, ... Questo è il più piccolo insieme infinito ordinale, e il suo numero ordinale è indicato con omega minuscolo, ω. Ora immaginate di prendere quell'insieme e incollare un nuovo elemento alla fine, 1, 2, 3, ..., ω. Questo insieme ha numero ordinale ω+1. Ha numero cardinale aleph-nought, perché si può definire una corrispondenza 1-1 mappando ω a 1, 1 a 2, 2 a 3, e così via. Quindi i due insiemi hanno lo stesso numero cardinale, ma diversi numeri ordinali.

Quindi, l'altra risposta alla tua domanda è: ω+3 = ω+3. Forse non così sorprendente come l'altra risposta. Cioè, è il numero ordinale dell'insieme 1, 2, 3, ..., ω, ω+1, ω+2.