Qual è la relazione tra l'infinito e la linea dei numeri reali?

Se è utile o meno considerare l'infinito come un numero dipende dalle tue esigenze. Se decidiamo di aggiungere qualcosa chiamato "infinito" alla linea dei numeri reali, allora si perderà la struttura del campo algebrico dei numeri reali. Nella maggior parte dei casi abbiamo bisogno di questa struttura di campo algebrico più che di poter usare l'infinito come numero. Nella maggior parte dei casi la struttura di campo algebrico della linea dei numeri reali è troppo importante da sacrificare, poiché pochi sperimentano la matematica profonda come la topologia.

E non usiamo l'infinito come numero quando valutiamo o descriviamo i limiti, usiamo solo il termine infinito come un modo breve per dire "aumenta senza limiti". Così quando dico che [math]\lim_{x\0} \frac{1}{x^2} = \infty[/math], non sto dicendo che il limite è uguale a una cosa chiamata infinito, sto dicendo che la funzione "aumenta senza limiti" quando [math]x[/math] si avvicina a [math]0[/math]. Per usare l'infinito come un numero abbiamo bisogno di definire con precisione cos'è e come funziona. Tuttavia, ci sono molti modi in cui possiamo farlo. Di seguito descriverò alcuni esempi (con i link ai relativi articoli di wikipedia che possono approfondire) che fanno questo.

C'è una struttura matematica conosciuta come la linea reale proiettivamente estesa. Questa è la solita linea dei numeri reali con un punto chiamato infinito aggiunto ad essa (si noti che questo è solo un punto aggiunto; in questa struttura non c'è infinito negativo). Qui definiamo le operazioni aritmetiche su questo infinito come segue:

Nota che [math]0 \times \infty[/math] non è indirizzato. Lasciamo questa espressione indefinita, poiché non siamo in grado di definire alcun valore per essa che non sia senza senso. Lo stesso vale per [math]\frac{infty}{infty}[/math], [math]\frac{0}{0}[/math], e [math]\infty + \infty[/math].

Si possono vedere tutti i modi in cui questo nuovo "numero" aggiunto viola la struttura algebrica della linea dei numeri reali. Ma continuiamo a studiarla perché ha proprietà interessanti quando consideriamo le funzioni su di essa e la continuità e tali funzioni.

C'è anche qualcos'altro chiamato linea dei numeri reali estesa, che è simile alla linea protetta estesa, tranne che ha un infinito positivo e un infinito negativo.

C'è anche la sfera di Riemann, che è i numeri complessi con un infinito senza segno aggiunto (spesso chiamato infinito complesso). Questo è un po' simile all'esempio della linea proiettivamente estesa di cui sopra.

Ci sono anche i numeri iperreali e i numeri surreali, che contengono infiniti "infiniti" e "infinitesimi".

Queste sono tutte cose super interessanti, ma non sono accessibili ai profani e nemmeno utili ai profani. Per questo motivo, e perché l'importante struttura del campo è accessibile ai profani e utile a tutti, ci atteniamo semplicemente alla linea dei numeri reali senza l'aggiunta di nessuno di questi strani "numeri".

ETA: Voglio anche notare che in tutti gli esempi elencati sopra non stiamo ancora usando esattamente l'infinito come un numero, che è quello che stavi realmente chiedendo. Invece usiamo l'infinito come un punto in uno spazio. Questo è un punto sottile che può essere compreso se si ha una buona comprensione dell'algebra rispetto all'analisi. L'infinito non funziona bene in algebra (dove facciamo cose da numero), ma funziona benissimo in analisi (dove facciamo cose da spazio/punto).