La serie di Grandi non potrebbe anche essere uguale a -1?

Utilizzando questa logica la serie potrebbe essere uguale a qualsiasi numero intero, a seconda di come si ordina la somma:
[math]S:=sum_{k=0}^{proto}(-1)^k[/math]
[math]S=1+S=-1+S\;\freccia sinistra-destra \; S=z \; \; \per tutti gli z\epsilon \mathbb{Z}[/math]
Per questo la convergenza di una serie infinita è definita dalla convergenza delle sue somme parziali:
[math]\sum_{k=0}^{\proprio}a_k=c \\; \; \freccia a sinistra \; \; \lim_{n{rightarrow \proto} \sum_{k=0}^{n}a_k=c[/math]
(in questo caso, la sequenza [math](a_k)_{k\epsilon\mathbb{N}}[/math] è definita da [math]a_k=(-1)^k[/math] )
Un comodo requisito per la convergenza di una serie è che la sua sequenza deve convergere a zero, che chiaramente non è il caso della serie di Grandi's series.

C'è un altro concetto che funziona con le serie di Grandi's: la sommatoria di Cesàro (il primo esempio è la serie di Grandi's). Per la serie alla sequenza [math](a_k)_{k\epsilon\mathbb{N}}[/math] la Somma di Cesàro è
[math]\lim_{n\rightarrow \propto }frac{1}{n}{sum_{k=0}^{n}a_k[/math]
Per le serie di Grandi'la Somma di Cesàro è 1/2, poiché le somme parziali sono 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...

La parte importante è che in entrambi i calcoli guardiamo solo la sequenza delle somme parziali perché le serie infinite sono, a differenza delle somme orinarie, effettivamente ordinate (dice Wikipedia: Serie (matematica)).