Qual è la differenza tra la serie di Taylor e la serie di Laurent?

La serie di Taylor di una funzione reale o complessa f di x che è infinitamente differenziabile in un numero reale o complesso a è la serie di potenza, che può essere scritta nella notazione sigma più compatta come sommatoria di f potenza n di a su n fattoriale in x meno a, il tutto elevato a n, da n uguale a zero a infinito. Qui, f potenza n di a denota l'ennesima derivata di f valutata in a. La serie di Laurent di una funzione complessa f di z è una rappresentazione di quella funzione come una serie di potenza che include termini di grado negativo. Può essere usata per esprimere funzioni complesse nei casi in cui un'espansione della serie di Taylor non può essere applicata.

La serie di Laurent per una funzione complessa f di z su un punto c è data da f di z uguale alla somma di a n in z meno c elevato a n da n uguale a meno infinito a infinito, dove a n e c sono costanti definite da un integrale di linea che è una generalizzazione della formula integrale di Cauchy. Quindi, abbiamo prima visto cos'è la serie di Taylor e poi siamo passati a vedere cos'è la serie di Laurent?