Qual è la serie di Taylor per [math]\tan x[/math]?

Possiamo iniziare con

[math]f(x) = \tan(x), \quadro f(0) = 0,[/math]

[math]f'(x) = 1/\cos^2(x),\quadro f'(0) = 1,[/math]

ecc, ma è complicato e noioso.

Prima di tutto, nota che [math]\tan(x)[/math] è una funzione dispari, e quindi la sua serie di Taylor a [math]0[/math] ha solo coefficienti dispari,

[math]f(x) = a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + \cdots[/math]

Si può scrivere

[math]f(x) = \displaystyle \frac{1}{\cos^2(x)} = \displaystyle 1+\tan^2(x),[/math]

e quindi abbiamo che [math]\tan(x)[/math] soddisfa l'equazione differenziale non lineare

[math]f' = 1+f^2.[/math]

In termini di serie di Taylor, si scrive

[math]a_1 + 3a_3 x^2 + 5a_5x^4 + \cdots = 1+\left(a_1 x+a_3 x^3+a_5x^5+\cdots\right)^2,[/math]

che può essere risolto uguagliando i coefficienti di ogni potenza (pari) di [math]x[/math]. Quindi abbiamo

[math]a_1 = 1\quadro ([/math]coefficiente di[math] x^0),[/math]

[math]3 a_3 = a_1^2 = 1 \freccia destra a_3 = 1/3,\quadro ([/math]coefficiente di[math] x^2) [/math]

[math]5 a_5 = 2a_1a_3 = 2/3\Rightarrow a_5 = 2/15,[/math]

[math]7 a_7 = a_3^2+ 2 a_1a_5 = 17/45\Rightarrow a_ 7 = 17/315[/math],

e così via...

L'ordine dell'equazione differenziale è 1, e quindi dovrebbe avere bisogno di una condizione iniziale. Questa condizione iniziale è [math]f(0) = 0[/math], che è implicita nella serie scelta, dove [math]a_0=0[/math].