Perché la somma dei quadrati dei coseni di direzione è sempre 1?

Perché la somma dei quadrati dei coseni di direzione è sempre [math]1?[/math]

Che cosa sono i coseni di direzione? I coseni di direzione sono i coseni degli angoli fatti da un segmento di linea diretta con gli assi delle coordinate.

Consideriamo un punto, [math]P,[/math] su una linea nello spazio [math]3[/math] dimensionale. Spostare la linea, parallela a se stessa, in modo che passi per l'origine. Questo movimento non cambia gli angoli fatti da una linea con gli assi delle coordinate.

Lasciate che le coordinate del punto [math]P[/math] siano [math](x,y,z)[/math] e che la distanza del punto [math]P[/math] dall'origine, [math]O,[/math] sia [math]r.[/math]

[math]\Rightarrow\qquad r^2=x^2+y^2+z^2.[/math]

Lascia che gli angoli che il segmento di retta [math]OP[/math] fa con gli assi positivi [math]X,Y[/math] e [math]Z[/math] siano rispettivamente [math]\alpha,\beta[/math] e [math]\gamma[/math].

Allora, [math]\frac{x}{r}=\cos\alpha,\frac{y}{r}=\cos\beta[/math] e [math]\frac{z}{r}=\cos\gamma.[/math]

[math]\Rightarrow\qquad \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=\frac{x^2}{r^2}+\frac{x^2}{r^2}+\frac{x^2}{r^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{r^2}.[/math]

[math]\Rightarrow\qquad \cos^2\alpha+cos^2\beta+\cos^2\gamma=\frac{r^2}{r^2}=1.[/math]